семинар 2, сложность 1: Часть 1

Видео

Конспект

Задача 1

Условие

Два бруска массами m_1 и m_2 соединены нерастяжимой нитью, перекинутой через блок. Найдите ускорение, с которым движутся бруски и силу натяжения нити. Коэффициент трения равен \mu .

task1 Решение

Покоятся бруски или движутся, зависит от масс брусков и коэффициента трения. Так, если брусок 1 достаточно легкий, то брусок 2 останется в покое (на него будет действовать сила трения покоя, которая будет препятствовать началу скольжения второго бруска по поверхности стола). Если первый брусок достаточно тяжелый, то начнётся движение всей системы.

Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. К каждому бруску применим второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек, так как бруски движутся поступательно: \vec{F}_{\Sigma }=m \cdot \vec{a}. Рассмотрим силы, действующие на каждый из брусков. Первый брусок взаимодействует с землей (на него действует сила тяжести) и с нитью (на него действует сила натяжения нити). Второй брусок взаимодействует с землей (на него действует сила тяжести), столом (на него действует сила реакции опоры) и нитью (на него действует сила натяжения нити). Кроме того, на второй брусок действует сила трения, которая либо препятствует началу движения второго бруска, либо препятствует относительному скольжению бруска по столу.

2 Сила сухого трения бывает двух видов – сила трения покоя (которая препятствует началу движения) и сила трения скольжения (которая препятствует относительному движению одного тела по поверхности другого). При этом сила трения покоя не превосходит величины силы трения скольжения. Сила трения скольжения пропорциональна прижимающей силе (которая, по третьему закону Ньютона равна силе реакции опоры). Итак, F_{тр} =

\left[

\begin{array}{lll}

F_{тр.п.}<F_{тр.ск.},\\

F_{тр.п.} = \mu \cdot N = \mu \cdot m_2g.

\end{array}\right. Здесь мы воспользовались тем, что силой тяжести, действующая на второй брусок, уравновешена силой реакции опоры: N=m_2g .

Рассмотрим два случая:

Оба бруска покоятся. В этом случае их ускорения равны нулю a_1=a_2=0 . Нить невесомая, поэтому сила натяжения нити одинакова вдоль всей нити: \left| \vec{T}_1 \right| = \left| \vec{T}_2 \right| = T .

Итак, условия равновесия тел принимают вид \left.

\begin{array}{lll}

T_1 = m_1g,\\

T_2=F_{тр.п.}.

\end{array}\right. Отсюда получаем m_1g = F_{тр.п.} < \mu m_2g, \frac{m_1}{m_2}<\mu.

Скольжение второго бруска по поверхности стола. В этом случае ускорения брусков не равны нулю, но равны друг другу (так как нить нерастяжима): a_1=a_2\neq 0 . Воспользуемся вторым законом Ньютона для каждого из брусков: \vec{T}_1+m_1 \vec{g} = m_1 \vec{a_1}. Проецирование векторов на ось y дает T_1-m_1g=m_1 \cdot \left( -a_1 \right).

3 Для второго бруска второй закон Ньютона принимает вид \vec{T}_2+m_2 \vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр.ск.} = m_2 \vec{a}_2. Проекции полученного векторов на оси x и y дают соответственно уравнения -T_2+0+0+F_{тр.ск.} = m_2\cdot \left( -a_2 \right), 0-m_2g+N+0=m_2\cdot 0. Найдём натяжение нити и ускорение. Объединим полученные уравнения в систему: \left\{

\begin{array}{lll}

T-m_1g = -m_1a,\\

-T+\mu m_2g = -m_2a.

\end{array}\right. Сложим уравнения, получим: -m_1g + \mu m_2g = -a \cdot \left( m_1+m_2 \right). Отсюда получаем выражение для ускорения: a = \frac{m_1-\mu m_2}{m_1+m_2}\cdot g. Скольжение возможно только в том случае, когда \mu \leqslant \frac{m_1}{m_2} . Тогда a>0.

Воспользуемся первым уравнением системы и найдем выражение для натяжения нити: T = m_1 \left( g-a \right) = m_1g \left( 1- \frac{m_1-\mu m_2}{m_1+m_2} \right) = \frac{m_1m_2\left( 1-\mu \right) }{m_1+m_2}g.

Ответ: Бруски покоятся: \frac{m_1}{m_2}<\mu ;a=0;\ T = m_1g .

Бруски движутся: \frac{m_1}{m_2}\geqslant \mu ; a = \frac{m_1-\mu m_2}{m_1+m_2}\cdot g ; T = \frac{m_1m_2\left( 1-\mu \right) }{m_1+m_2}g.

Задача 2

Условие

Если к телу приложить силу F=120H под углом \alpha =60^o к горизонту, то оно будет двигаться равномерно. С каким ускорением будет двигаться тело, если ту же силу приложить под углом \beta = 30^o к горизонту? Масса тела m=25 кг.

task2 Решение

Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землёй. Применим к бруску второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек, так как брусок движется поступательно: \vec{F}_{\Sigma} = m\cdot \vec{a}. Расставим силы, действующие на брусок. На брусок действует сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения скольжения.

5 При равномерном движении скорость постоянна по величине и направлению: \vec{v}= \vec{C}onst . Поэтому ускорение бруска равно нулю: \vec{a}=\vec{0} . Значит, геометрическая сумма сил, действующих на брусок, равна нулю: \vec{F} + m \vec{g}+\vec{N} + \vec{F}_{тр.ск.} = \vec{0}. Спроецируем векторы на ось x : F\cdot \cos\alpha + 0+0-F_{тр.ск.}=0. Величина силы трения скольжения (закон Кулона-Амонтона): F_{тр.ск.} = \mu N. Найдем величину силы реакции опоры, спроецировав векторы из второго закона Ньютона на ось y : F\cdot \sin \alpha -mg+N+0=0. Из полученных уравнений получаем \left\{

\begin{array}{lll}

F_{тр.ск.}=\mu \cdot N=F\cdot \cos \alpha ,\\

N = mg - F\sin \alpha.

\end{array}\right. Подставим величину силы реакции опоры N в первое уравнение системы: \mu \left( mg-F\sin \alpha \right) = F\cdot \cos\alpha. Отсюда получаем выражение для коэффициента трения: \mu = \frac{F\cdot \cos\alpha }{mg-F\sin \alpha }. Рассмотрим вторую часть задачи – ускоренное движение бруска, возникающее при изменении угла \alpha приложения силы F на угол \beta . В этом случае тело приобретает ускорение \vec{a} , которое нужно учесть во втором законе Ньютона: \vec{F}+m \vec{g} + \vec{N}+\vec{F}_{тр.ск.}=m \cdot \vec{a}. Заметим, что величина силы трения скольжения тоже изменилась, так как изменился угол, под которым сила F действует на тело, и, как следствие, изменилась величина силы реакции опоры.

Спроецируем векторы

на ось x : F\cdot \cos \beta - F_{тр.ск.} = ma и ось y : F \sin \beta - mg + N = 0. Отсюда получаем выражение для силы реакции опоры: N = mg-F \sin \beta. Подставим это выражение в уравнение, спроецированное на ось x . ma = F\cos \beta - \mu \left( mg-F \sin \beta \right). Подставим сюда найденное ранее выражение для коэффициента трения \mu : ma = F\cos \beta - \mu \left( mg-F \sin \beta \right) = F \cos \beta - \frac{F\cos \alpha \left( mg-F\sin\beta \right)}{mg-F\sin \alpha }. Таким образом, a = \frac{F}{m}\left( \cos \beta - \cos\alpha \cdot \frac{mg-F\sin \beta }{mg-F\sin \alpha } \right). Подставим числовые значения и получим значение ускорения: a = \frac{120\ H}{25\ кг} \left( \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{25кг \cdot 10 \frac{м}{c^2}-120H\cdot \frac{1}{2}}{25кг \cdot 10 \frac{м}{c^2}-120H \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \right) \approx 1 \frac{м}{c^2}.

Ответ: 1 \frac{м}{c^2} .