семинар 6, сложность 1: Часть 1

Видео

Конспект

Задача 1

Условие

Свинцовый шар массой m = 4 кг подвешен на нити и полностью погружён в воду (см рис. [fig:task1_1]). Нить образует с вертикалью угол \alpha = 30^\circ . Определите силу, с которой нить действует на шар. Плотность свинца \rho_{св} = 11300 кг/м^3 , плотность воды \rho_{в} = 1000 кг/м^3 . Трением шара о стенку пренебречь.

task1_fig1 Решение

Будем решать задачу в ИСО, связанной с Землей. Шар будем считать абсолютно твёрдым телом. Условия равновесия: \vec{F}_\Sigma = \vec{0} , M_\Sigma = 0 . Расставим силы, действующие на шар (рис. [fig:task1_2]).

task1_fig2 Так как трения нет, линии действия сил тяжести, реакции опоры и натяжения нити проходят через центр шара (второе условие равновесия). Первое условие равновесия: m \vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_A + \vec{T} = \vec{0}. В проекции на ось x : 0+N+0-T\cdot \sin\alpha = 0 и ось y : -mg +0+F_A + T\cdot \cos\alpha = 0. Из первого уравнения получаем: N = T\cdot \sin\alpha. Второе уравнение преобразуем к виду: F_A +T\cdot \cos \alpha = mg. Сила Архимеда: F_A = \rho_{в} g V_{ш} = \rho _{в} g \frac{m}{\rho_c}. Масса шара m_{ш} = \rho_c \cdot V_{ш} , откуда объем шара V_{ш} = \frac{m}{\rho_{с}} . Решим уравнение относительно искомой величины: T = \frac{mg - F_A}{\cos \alpha } = \frac{mg - \frac{\rho _{в}\cdot g\cdot m}{\rho _c}}{\cos \alpha } = \frac{mg}{\cos \alpha } \left( 1- \frac{\rho _{в}}{\rho _c} \right). Подставим известные величины и найдем силу натяжения нити: T = \frac{4 кг \cdot 10 \frac{м}{c^2}}{\cos 30^o} \left( 1- \frac{1000 \frac{кг}{м^3}}{11300 \frac{кг}{м^3}} \right) \approx 42 Н. Ответ: 42H .

Теория: Основы статики и момент силы

Мы подробно рассмотрели поступательное движение, в таких задачах тело принимали за материальную точку. Рассмотрим систему тел, соединенных нитью, перекинутой через блок. Хотя силы натяжения нитей компенсированы реакцией в оси блока, блок может вращаться. В данном разделе мы будем изучать те случаи, когда тело находится в состоянии покоя и относительно поступательного, и относительно вращательного движения.

Статика – раздел механики, изучающий условия равновесия тел.

Условия равновесия представляют собой частный случай динамических уравнений при отсутствии ускорения. Исторически статика возникла из потребностей строительной техники почти на два тысячелетия раньше динамики и позволяет определять условия равновесия сооружений: зданий, арок, подъемных кранов и др.

Простейший объект изучения статики – абсолютно твердое тело, размеры и форма которого считаются неизменными. Это идеализация, так как реальные тела под действием сил деформируются. Величина деформаций зависит от приложенных сил, формы тела и свойств материала. В практических задачах деформации часто малы, что оправдывает использование модели абсолютно твердого тела.

Сила – мера взаимодействия двух тел, в результате которого тела деформируются и/или приобретают ускорения. Рассмотрим пример: попробуем открыть дверь, нажимая на нее посередине. Это будет тяжелее, чем если мы будем нажимать с краю. Величина силы для данной двери будет зависеть от расстояния до петель, на которых она висит, то есть от расстояния до оси вращения.

Момент силы характеризует вращательное действие силы и определяется как: M = \pm F \cdot d.

Плечо силы – расстояние от оси вращения до линии действия силы: d = r \cdot \sin\alpha.

Единица измерения: [M] = Н \cdot м . Разные силы могут вращать тело в разных направлениях. Для того, чтобы это учесть, введем правило знаков:

M > 0 — вращение против часовой стрелки,

M < 0 — вращение по часовой стрелке.

Правило знаков условно, главное, чтобы моменты сил, вращающих тела в разных направлениях, имели разные знаки.

Проиллюстрируем данные определения: рассмотрим абсолютно твердое тело (рис. [fig:teor_1]). Ось поворота проходит через точку O перпендикулярно плоскости рисунка. В точке A к телу приложена сила \vec{F} . Эта сила вызывает поворот тела против часовой стрелки относительно закрепленной оси.

teor_fig1 Здесь плечо силы: d = OB = OA \cdot \sin\alpha. Таким образом, момент силы можно записать в виде M = \pm F \cdot r \cdot \sin\alpha = \pm r\cdot F\cdot \sin\alpha = \pm r \cdot F_{\tau }, где F — величина силы, F_\tau – тангенциальная составляющая силы, d — плечо силы, \alpha — угол между вектором силы и радиус-вектором, r — расстояние от оси вращения до точки приложения силы. Значит, именно тангенциальная составляющая силы вызывает поворот тела. Продольная же составляющая силы вызывает только деформацию или сообщает точкам тела центростремительное ускорение.

Окончательно, формула для вычисления момента силы: \boxed{M = \pm r\cdot F\cdot \sin\alpha }.

Для описания более сложного вращательного движения удобнее использовать векторную форму записи. Полученная выше формула эквивалентна модулю векторного произведения \vec{c}= \vec{a}\times \vec{b} , где \left| \vec{c} \right| = \left| \vec{a} \right| \cdot | \vec{b} | \cdot \sin\alpha . Момент силы как векторное произведение: \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}, \quad |\vec{M}| = |\vec{r}| \cdot |\vec{F}| \cdot \sin\alpha

Задача 2

Условие

Деревянная линейка длиной l = 90 см выдвинута за край стола на \frac{1}{4} часть своей длины. При этом она не опрокидывается, если на ее правом конце лежит груз массой не более 100 г (см. рис. [fig:task2_1]). Далее линейку выдвинули вправо за край стола на \frac{1}{3} часть своей длины. Груз какой максимальной массы можно положить на правый конец линейки в этом случае, чтобы она не перевернулась?

task2_fig1 Решение

Будем решать задачу в ИСО, связанной с Землей. Линейку считаем абсолютно твердым телом. Условия равновесия: \vec{F}_\Sigma =\vec{0} , M_\Sigma = 0 .

Расставим силы, действующие на систему линейка + груз для первого случая (рис. [fig:task2_2]).

task2_fig2 Уравнение моментов относительно оси, проходящей через край стола: M g \cdot \frac{l}{4} - m g \cdot \frac{l}{4} = 0. Отсюда получаем массу линейки: M=m = 100\ г.

Анализ второго случая (выдвижение на \frac{1}{3} длины). Расставим силы, действующие на смещенную линейку (рис. [fig:task2_3]).

task2_fig3 Расстояние до центра масс: d_c = \frac{l}{2} - \frac{l}{3} = \frac{l}{6}. Уравнение моментов относительно оси, проходящей через край стола: M g \cdot \frac{l}{6} = m_x g \cdot \frac{l}{3}. Отсюда получаем искомую массу: m_x = \frac{M}{2} = \frac{m}{2} = \frac{100}{2} = 50 г. Ответ: 50 г.