семинар 6, сложность 1

Задача 3 Условие Два небольших массивных шара массами $m_1 = 0,2$ кг и $m_2 = 0,3$ кг закреплены на концах невесомого стержня $AB$, лежащего горизонтально на опорах $C$ и $D$. Длина стержня $AB \, L = 1 \, м$, а расстояние $AC$ равно $0,2 \, м$. Сила давления стержня на опору $D$ в $2$ раза больше, чем на опору $C$. Каково расстояние между опорами $CD$? Сделайте рисунок с указанием внешних сил, действующих на систему тел «стержень и шары». Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи. Решение Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Будем считать стержень абсолютно твердым телом (форма и размеры стержня постоянны). Абсолютно твердое тело участвует в двух видах движения – поступательном и вращательном, поэтому условий равновесия ровно два: $\vec{F}_\Sigma = \vec{0}$, $M_\Sigma =0$. Расставим силы, действующие на систему, состоящую из стержня и двух грузов (рис. [fig:task3_2] ). Первое условие равновесия: $$ m_1 \vec{g} + m_2 \vec{g} + \vec{N}_C + \vec{N}_D = \vec{0}. $$ В проекции на вертикальную ось: $$ m_1g + m_2g = N_C + N_D. $$ По третьему закону Ньютона $N = P$. По условию задачи $N_D = 2N_C$. Преобразуем первое условие равновесия: $$ \left( m_1+m_2 \right) g = N_C+2N_C = 3N_C. $$ Отсюда получаем $$ N_C = \frac{(m_1 + m_2)g}{3}. $$ Второе условие равновесия (уравнение моментов относительно точки $D$): $$ -m_2g \cdot BD - N_C \cdot CD + m_1g \cdot AD = 0. $$ Найдем длины отрезков: $DB = AB - \left( AC+CD \right)$, $AD = AC+CD$. Упростим уравнение моментов: $$ m_2g \cdot (AB - AC - CD) + \frac{\left( m_1+m_2 \right)g}{3} \cdot CD = m_1g \cdot (AC + CD), $$ Получим: $$ 3\left( m_2 \left( AB-AC \right) - m_1 AC \right) = 2CD \left( m_1+m_2 \right). $$ Выразим искомую длину, подставим известные величины и вычислим: $$ CD = \frac{3m_2\cdot AB - 3 AC\left( m_1+m_2 \right) }{2\left( m_1+m_2 \right) } = \frac{3 \left( 0,3 кг \cdot 1 м - \left( 0,2 кг +0,3 кг \right) \cdot 0,2 м \right) }{2 \left( 0,2 кг +0,3 кг \right) } = 0,6 м $$ Ответ: $0,6 м$. Теория: Условия равновесия абсолютно твердого тела Рассмотрим абсолютно твердое тело. Движение такого тела описывает второй закон Ньютона: $$ \left\{ \begin{array}{lll} \vec{F}_\Sigma = m \cdot \vec{a}_c,\\ \vec{M}_\Sigma = J\cdot \vec{\beta}. \end{array}\right. $$ Абсолютно твердое тело находится в равновесии (относительном покое) в инерциальной системе отсчета (ИСО), если линейное ускорение его центра масс и угловое ускорение тела равны нулю: $$ \left\{ \begin{array}{lll} \vec{a}_c = \vec{0},\\ \vec{\beta} = 0. \end{array}\right. $$ Для равновесия твердого тела в ИСО должны выполняться одновременно два условия: Первое условие равновесия – геометрическая сумма всех внешних сил, приложенных к телу, равна нулю: $$ \vec{F}_\Sigma = \vec{0}. $$ Линейное ускорение центра масс равно нулю. Второе условие равновесия: алгебраическая сумма моментов всех внешних сил, действующих на тело, относительно любой неподвижной оси равна нулю: $$ M_\Sigma = 0. $$ Угловое ускорение точек тела равно нулю. Точка, через которую проходит ось, относительно которой записывается правило моментов, может не совпадать с реальной осью вращения, и выбирается из соображений удобства: уравнение моментов будет тем проще, чем больше сил будут иметь равные нулю моменты. Проиллюстрируем важность обоих условий на примере обруча (рис. [fig:teor_2] ). Приложим к обручу равные по модулю и противоположные по направлению силы $\left| \vec{F}_1 \right| = \left| \vec{F}_2 \right| $. Первое условие равновесия выполнено (центр обруча покоится): $$ \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = \vec{0}. $$ Однако моменты сил относительно оси, проходящей через точку $O$ вращают тело по часовой стрелке. Значит, $M_\Sigma \neq 0$. Второе условие равновесия не выполнено, обруч вращается. Теорема о трех силах Теорема. Если абсолютно твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, то силы компланарны (все три силы лежат в одной плоскости), силы сходятся (линии действия всех трех сил пересекаются) в одной точке. Будем рассуждать следующим образом. Воспользуемся первым условием равновесия: сила $F_3$ должна быть равна по модулю и противоположна по направлению геометрической сумме сил $$ \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = \vec{F}_{12}, $$ то есть $$ \vec{F}_3 + \vec{F}_{12} = \vec{0}, $$ $$ \vec{F}_3 = - \vec{F}_{12}. $$ Согласно второму условию равновесия, сумма моментов сил относительно любой точки должна быть нулевой ($M_\Sigma = 0$). Если бы линия действия $F_3$ не проходила бы через точку $O$ пересечения линий действия $F_1$ и $F_2$, то $F_3$ создавала бы ненулевой момент относительно этой точки, нарушая равновесие. Виды равновесия абсолютно твердого тела В соответствии с условием равновесия, тело не будет двигаться поступательно и не будет вращаться относительно какой-либо оси, если будут выполнены оба условия равновесия: векторная сумма всех сил и сумма моментов сил будут равны нулю. Принято выделять следующие виды равновесия : Устойчивое равновесие, Неустойчивое равновесие, Бе...