семинар 6, сложность 1: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 3

Условие

Два небольших массивных шара массами $m_1 = 0,2$ кг и $m_2 = 0,3$ кг закреплены на концах невесомого стержня $AB$, лежащего горизонтально на опорах $C$ и $D$. Длина стержня $AB \, L = 1 \, м$, а расстояние $AC$ равно $0,2 \, м$. Сила давления стержня на опору $D$ в $2$ раза больше, чем на опору $C$. Каково расстояние между опорами $CD$?

task3_fig1

Сделайте рисунок с указанием внешних сил, действующих на систему тел «стержень и шары». Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

Решение

Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Будем считать стержень абсолютно твердым телом (форма и размеры стержня постоянны). Абсолютно твердое тело участвует в двух видах движения – поступательном и вращательном, поэтому условий равновесия ровно два: $\vec{F}_\Sigma = \vec{0}$, $M_\Sigma =0$. Расставим силы, действующие на систему, состоящую из стержня и двух грузов (рис. [fig:task3_2]).

task3_fig2

Первое условие равновесия: $$

m_1 \vec{g} + m_2 \vec{g} + \vec{N}_C + \vec{N}_D = \vec{0}.

$$ В проекции на вертикальную ось: $$

m_1g + m_2g = N_C + N_D.

$$ По третьему закону Ньютона $N = P$. По условию задачи $N_D = 2N_C$. Преобразуем первое условие равновесия: $$

\left( m_1+m_2 \right) g = N_C+2N_C = 3N_C.

$$ Отсюда получаем $$

N_C = \frac{(m_1 + m_2)g}{3}.

$$ Второе условие равновесия (уравнение моментов относительно точки $D$): $$

-m_2g \cdot BD - N_C \cdot CD + m_1g \cdot AD = 0.

$$ Найдем длины отрезков: $DB = AB - \left( AC+CD \right)$, $AD = AC+CD$. Упростим уравнение моментов: $$

m_2g \cdot (AB - AC - CD) + \frac{\left( m_1+m_2 \right)g}{3} \cdot CD = m_1g \cdot (AC + CD),

$$ Получим: $$

3\left( m_2 \left( AB-AC \right) - m_1 AC \right) = 2CD \left( m_1+m_2 \right).

$$ Выразим искомую длину, подставим известные величины и вычислим: $$

CD = \frac{3m_2\cdot AB - 3 AC\left( m_1+m_2 \right) }{2\left( m_1+m_2 \right) } = \frac{3 \left( 0,3 кг \cdot 1 м - \left( 0,2 кг +0,3 кг \right) \cdot 0,2 м \right) }{2 \left( 0,2 кг +0,3 кг \right) } = 0,6 м

$$ Ответ: $0,6 м$.

Теория: Условия равновесия абсолютно твердого тела

Рассмотрим абсолютно твердое тело. Движение такого тела описывает второй закон Ньютона: $$

\left\{

\begin{array}{lll}

\vec{F}_\Sigma = m \cdot \vec{a}_c,\\

\vec{M}_\Sigma = J\cdot \vec{\beta}.

\end{array}\right.

$$

Абсолютно твердое тело находится в равновесии (относительном покое) в инерциальной системе отсчета (ИСО), если линейное ускорение его центра масс и угловое ускорение тела равны нулю: $$

\left\{

\begin{array}{lll}

\vec{a}_c = \vec{0},\\

\vec{\beta} = 0.

\end{array}\right.

$$ Для равновесия твердого тела в ИСО должны выполняться одновременно два условия:

Первое условие равновесия – геометрическая сумма всех внешних сил, приложенных к телу, равна нулю: $$

\vec{F}_\Sigma = \vec{0}.

$$ Линейное ускорение центра масс равно нулю.

Второе условие равновесия: алгебраическая сумма моментов всех внешних сил, действующих на тело, относительно любой неподвижной оси равна нулю: $$

M_\Sigma = 0.

$$ Угловое ускорение точек тела равно нулю.

Точка, через которую проходит ось, относительно которой записывается правило моментов, может не совпадать с реальной осью вращения, и выбирается из соображений удобства: уравнение моментов будет тем проще, чем больше сил будут иметь равные нулю моменты.

Проиллюстрируем важность обоих условий на примере обруча (рис. [fig:teor_2]).

teor_fig2

Приложим к обручу равные по модулю и противоположные по направлению силы $\left| \vec{F}_1 \right| = \left| \vec{F}_2 \right| $. Первое условие равновесия выполнено (центр обруча покоится): $$

\vec{F}_1 + \vec{F}_2 = \vec{0}.

$$ Однако моменты сил относительно оси, проходящей через точку $O$ вращают тело по часовой стрелке. Значит, $M_\Sigma \neq 0$. Второе условие равновесия не выполнено, обруч вращается.

Теорема о трех силах

Теорема. Если абсолютно твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, то

силы компланарны (все три силы лежат в одной плоскости),

силы сходятся (линии действия всех трех сил пересекаются) в одной точке.

teor_fig3

Будем рассуждать следующим образом. Воспользуемся первым условием равновесия: сила $F_3$ должна быть равна по модулю и противоположна по направлению геометрической сумме сил $$

\vec{F}_1 + \vec{F}_2 = \vec{F}_{12},

$$ то есть $$

\vec{F}_3 + \vec{F}_{12} = \vec{0},

$$ $$

\vec{F}_3 = - \vec{F}_{12}.

$$ Согласно второму условию равновесия, сумма моментов сил относительно любой точки должна быть нулевой ($M_\Sigma = 0$). Если бы линия действия $F_3$ не проходила бы через точку $O$ пересечения линий действия $F_1$ и $F_2$, то $F_3$ создавала бы ненулевой момент относительно этой точки, нарушая равновесие.

Виды равновесия абсолютно твердого тела

В соответствии с условием равновесия, тело не будет двигаться поступательно и не будет вращаться относительно какой-либо оси, если будут выполнены оба условия равновесия: векторная сумма всех сил и сумма моментов сил будут равны нулю.

Принято выделять следующие виды равновесия:

Устойчивое равновесие,

Неустойчивое равновесие,

Безразличное равновесие.

Рассмотрим их на примере шарика, покоящегося на поверхности разной формы (рис. [fig:teor_4]). Во всех трех случаях на шарик будут действуют две силы – сила тяжести и сила реакции опоры, – которые уравновешивают друг друга.

teor_fig4

Если шарик покоится на вершине горки, то при небольшом отклонении шарика от положения равновесия сила нормальной реакции опоры меняет свое направление, и равнодействующая сила будет направлена от положения равновесия. Поэтому шарик будет удаляться от положения равновесия на вершину горки, скатываясь с нее.

Если шарик находится на дне ямы, то при небольшом отклонении шарика от положения равновесия сила нормальной реакции опоры меняет свое направление, и равнодействующая сила будет направлена в сторону этого положения. Поэтому шарик вернется в это положение равновесия.

Если же шарик находится на горизонтальной поверхности, то при любом смещении равнодействующая сила будет равна нулю. Шарик будет оставаться в равновесии (состоянии покоя).

Таким образом:

Равновесие будет устойчивым, если при небольшом смещении тела из этого положения, оно будет стремиться вернуться в положение равновесия.

Равновесие будет неустойчивым, если при небольшом смещении тела из этого положения, оно не вернется в него без внешнего воздействия.

Равновесие будет безразличным, если любое смещение тела переводит его в новое положение равновесия.

Отметим, что в случае устойчивого равновесия малые отклонения тела от равновесного положения повышают центр масс. В случае неустойчивого равновесия малые отклонения понижают центр масс. В случае безразличного равновесия центр масс находится на одной и той же высоте.