семинар 6, сложность 1

Задача 7 Условие Тонкая однородная палочка шарнирно закреплена за верхний конец. Нижний конец палочки погружен в воду (рис. [fig:task7_1] ). При равновесии под водой находится $k = \frac{1}{5}$ часть длины палочки. Найдите плотность вещества палочки. Решение Будем решать задачу в ИСО, связанной с Землей. Считаем палочку абсолютно твердым телом. Расставим силы, действующие на палочку (рис. [fig:task7_2] ). Условия равновесия: $\vec{F}_\Sigma = \vec{0}$, $M_\Sigma = 0$. Связь между масса тела и плотностью: $$ m = \rho \cdot V = \rho \cdot l\cdot S, $$ где $l$ – длина палочки, $S$ – площадь сечения. Из геометрии задачи: $$ OC = \frac{l}{2}, \quad OA = OC\cdot \cos \alpha, \quad OD = l - \frac{k}{2}l, \quad OB = OD\cdot \cos \alpha. $$ Уравнение моментов относительно шарнира: $$ -mg \cdot \frac{l}{2}\cos \alpha + F_A \cdot l \left( 1-\frac{k}{2} \right) \cdot \cos \alpha =0. $$ $$ F_A \left( 1-\frac{k}{2} \right) = \frac{mg}{2}. $$ Учтем, что сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости: $$ F_A = \rho_0 g \cdot (k l S). $$ В результате получаем: $$ \rho_0g klS \left( 1-\frac{k}{2} \right) = \rho lSg \cdot \frac{1}{2}. $$ Упростим: $$ \rho_0k \left( 1-\frac{k}{2} \right) = \frac{\rho}{2}, \quad \rho = 2\rho_0k \left( 1-\frac{k}{2} \right). $$ Подставим известные величины и найдем плотность: $$ \rho = 2 \cdot 1000 \frac{кг}{м^3} \cdot \frac{1}{5} \left(1 - \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{2}\right) = 360 \frac{кг}{м^3}. $$ Ответ: $360 \frac{кг}{м^3}$. Задача 8 Условие Однородный тонкий стержень массой $m$ одним концом шарнирно прикреплён к потолку, а другим концом опирается на массивную горизонтальную доску, образуя с ней угол $\alpha = 30^\circ$. Под действием горизонтальной силы $\vec{F}$ доска движется поступательно влево с постоянной скоростью (см. рис. [fig:task8_1] ). Стержень при этом неподвижен. Найдите $m$, если $F = 2 Н$, а коэффициент трения стержня по доске $\mu = 0,2$. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на стержень и доску. Трением доски по опоре и трением в шарнире пренебречь. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи. Решение Будем решать задачу в ИСО, связанной с Землей. Стержень будем считать абсолютно твердым телом. Условия равновесия: $\vec{F}_\Sigma = \vec{0}$, $M_\Sigma = 0$. Расставим силы, действующие на стержень (рис. [fig:task8_2] ). Уравнение моментов относительно шарнира: $$ mg \cdot \frac{l}{2} \cos \alpha - N_1 \cdot l \cos \alpha - F_{тр.ск.1} \cdot l \sin \alpha = 0. $$ Закон Кулона-Амонтона: $$ F_{тр.ск.} = \mu \cdot N, \quad N = \frac{F_{тр.ск.}}{\mu }. $$ Преобразуем уравнение моментов: $$ mg \cdot \frac{\cos \alpha }{2} = \frac{F_{тр.ск.1}}{\mu }\cdot \cos \alpha + F_{тр.ск.1} \sin\alpha. $$ Расставим силы, действующие на доску (рис. [fig:task8_3] ). По третьему закону Ньютона, $F_{тр.ск.1} = F_{тр.ск.2}$. Доска движется равномерно и прямолинейно: $\vec{v}= \vec{C}ons t$, $\vec{a}= \vec{0}$. Значит, геометрическая сумма сил, действующих на доску, равна нулю: $$ \vec{F} + \vec{F}_{тр.ск.2}+\vec{P}+\vec{N}_2 + M \vec{g} = \vec{0}. $$ В проекции на ось $x$: $$ -F + F_{тр.ск.2}+0+0+0=0. $$ Таким образом, $F_{тр.ск.2}= F$. Используя данный факт, преобразуем уравнение моментов: $$ m = \frac{2F}{g} \left( \frac{1}{\mu} + \tg \alpha \right), $$ $$ m = \frac{2\cdot 2H}{10 \frac{м}{c^2}} \left( \frac{1}{0.2} + \tg 30^o \right) \approx 2,2 кг. $$ Ответ: $2,2$ кг. Задача 9 Условие Цилиндр массой $m = 1$ кг и радиусом $R = 4$ см, на который намотана нерастяжимая невесомая нить, положили на наклонную плоскость, а конец нити прикрепили к вертикальной стенке. Ось цилиндра горизонтальна. Нить не скользит по цилиндру, параллельна наклонной плоскости и перпендикулярна оси цилиндра (см. рис. [fig:task9_1] ). Коэффициент трения между цилиндром и плоскостью $\mu = 0,5$. При каком максимальном угле наклона плоскости к горизонту цилиндр будет находиться в равновесии? Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на цилиндр.Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи. Решение Расставим силы, действующие на цилиндр (рис. [fig:task9_2] ). Сила трения покоя и силы трения скольжения принимают следующие величины: $$ F_{тр} = \left[ \begin{array}{lll} F_{тр.п} \leq F_{тр.ск.},\\ F_{тр.ск.} = \mu \cdot N. \end{array}\right. $$ Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Применим к цилиндру модель абсолютно твердого тела, так как форма и размеры не меняются, расстояние между любой парой точек цилиндра постоянно. Предположим, что угол $\alpha $ – максимальный, а сила трения покоя приняла максимальное значение. Абсолютно твердое тело участвует в двух видах движения - поступательном и вращательном. Условий равновесия два: $\vec{F}_\Sigma = \vec{0}$ и $M_\Sigma = 0$. Из геометрии задачи: $$ OA = R; \quad \angle AOD = \alpha; \quad AD = R\cdot \sin\alpha. $$ В качестве оси вращения выберем ось, проходящую через точку $A$ перепендикулярно плоскости рисунка, к которой приложена сила натяжения нити. Первое условие равновесия: $$ \v...