семинар 6, сложность 1: Часть 4

Видео

Конспект

Задача 7

Условие

Тонкая однородная палочка шарнирно закреплена за верхний конец. Нижний конец палочки погружен в воду (рис. [fig:task7_1]). При равновесии под водой находится $k = \frac{1}{5}$ часть длины палочки. Найдите плотность вещества палочки.

task7_fig1

Решение

Будем решать задачу в ИСО, связанной с Землей. Считаем палочку абсолютно твердым телом. Расставим силы, действующие на палочку (рис. [fig:task7_2]).

task7_fig2

Условия равновесия: $\vec{F}_\Sigma = \vec{0}$, $M_\Sigma = 0$. Связь между масса тела и плотностью: $$

m = \rho \cdot V = \rho \cdot l\cdot S,

$$ где $l$ – длина палочки, $S$ – площадь сечения.

Из геометрии задачи: $$

OC = \frac{l}{2}, \quad OA = OC\cdot \cos \alpha, \quad OD = l - \frac{k}{2}l, \quad OB = OD\cdot \cos \alpha.

$$ Уравнение моментов относительно шарнира: $$

-mg \cdot \frac{l}{2}\cos \alpha + F_A \cdot l \left( 1-\frac{k}{2} \right) \cdot \cos \alpha =0.

$$ $$

F_A \left( 1-\frac{k}{2} \right) = \frac{mg}{2}.

$$ Учтем, что сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости: $$

F_A = \rho_0 g \cdot (k l S).

$$ В результате получаем: $$

\rho_0g klS \left( 1-\frac{k}{2} \right) = \rho lSg \cdot \frac{1}{2}.

$$ Упростим: $$

\rho_0k \left( 1-\frac{k}{2} \right) = \frac{\rho}{2}, \quad \rho = 2\rho_0k \left( 1-\frac{k}{2} \right).

$$ Подставим известные величины и найдем плотность: $$

\rho = 2 \cdot 1000 \frac{кг}{м^3} \cdot \frac{1}{5} \left(1 - \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{2}\right) = 360 \frac{кг}{м^3}.

$$ Ответ: $360 \frac{кг}{м^3}$.

Задача 8

Условие

Однородный тонкий стержень массой $m$ одним концом шарнирно прикреплён к потолку, а другим концом опирается на массивную горизонтальную доску, образуя с ней угол $\alpha = 30^\circ$. Под действием горизонтальной силы $\vec{F}$ доска движется поступательно влево с постоянной скоростью (см. рис. [fig:task8_1]). Стержень при этом неподвижен. Найдите $m$, если $F = 2 Н$, а коэффициент трения стержня по доске $\mu = 0,2$. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на стержень и доску. Трением доски по опоре и трением в шарнире пренебречь. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

task8_fig1

Решение

Будем решать задачу в ИСО, связанной с Землей. Стержень будем считать абсолютно твердым телом. Условия равновесия: $\vec{F}_\Sigma = \vec{0}$, $M_\Sigma = 0$. Расставим силы, действующие на стержень (рис. [fig:task8_2]).

task8_fig2

Уравнение моментов относительно шарнира: $$

mg \cdot \frac{l}{2} \cos \alpha - N_1 \cdot l \cos \alpha - F_{тр.ск.1} \cdot l \sin \alpha = 0.

$$ Закон Кулона-Амонтона: $$

F_{тр.ск.} = \mu \cdot N, \quad N = \frac{F_{тр.ск.}}{\mu }.

$$ Преобразуем уравнение моментов: $$

mg \cdot \frac{\cos \alpha }{2} = \frac{F_{тр.ск.1}}{\mu }\cdot \cos \alpha + F_{тр.ск.1} \sin\alpha.

$$ Расставим силы, действующие на доску (рис. [fig:task8_3]).

task8_fig3

По третьему закону Ньютона, $F_{тр.ск.1} = F_{тр.ск.2}$. Доска движется равномерно и прямолинейно: $\vec{v}= \vec{C}ons t$, $\vec{a}= \vec{0}$. Значит, геометрическая сумма сил, действующих на доску, равна нулю: $$

\vec{F} + \vec{F}_{тр.ск.2}+\vec{P}+\vec{N}_2 + M \vec{g} = \vec{0}.

$$ В проекции на ось $x$: $$

-F + F_{тр.ск.2}+0+0+0=0.

$$ Таким образом, $F_{тр.ск.2}= F$. Используя данный факт, преобразуем уравнение моментов: $$

m = \frac{2F}{g} \left( \frac{1}{\mu} + \tg \alpha \right),

$$ $$

m = \frac{2\cdot 2H}{10 \frac{м}{c^2}} \left( \frac{1}{0.2} + \tg 30^o \right) \approx 2,2 кг.

$$ Ответ: $2,2$ кг.

Задача 9

Условие

Цилиндр массой $m = 1$ кг и радиусом $R = 4$ см, на который намотана нерастяжимая невесомая нить, положили на наклонную плоскость, а конец нити прикрепили к вертикальной стенке. Ось цилиндра горизонтальна. Нить не скользит по цилиндру, параллельна наклонной плоскости и перпендикулярна оси цилиндра (см. рис. [fig:task9_1]). Коэффициент трения между цилиндром и плоскостью $\mu = 0,5$. При каком максимальном угле наклона плоскости к горизонту цилиндр будет находиться в равновесии? Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на цилиндр.Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

task9_fig1

Решение

Расставим силы, действующие на цилиндр (рис. [fig:task9_2]).

task9_fig2

Сила трения покоя и силы трения скольжения принимают следующие величины: $$

F_{тр} =

\left[

\begin{array}{lll}

F_{тр.п} \leq F_{тр.ск.},\\

F_{тр.ск.} = \mu \cdot N.

\end{array}\right.

$$ Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Применим к цилиндру модель абсолютно твердого тела, так как форма и размеры не меняются, расстояние между любой парой точек цилиндра постоянно. Предположим, что угол $\alpha $ – максимальный, а сила трения покоя приняла максимальное значение. Абсолютно твердое тело участвует в двух видах движения - поступательном и вращательном. Условий равновесия два: $\vec{F}_\Sigma = \vec{0}$ и $M_\Sigma = 0$. Из геометрии задачи: $$

OA = R; \quad \angle AOD = \alpha; \quad AD = R\cdot \sin\alpha.

$$ В качестве оси вращения выберем ось, проходящую через точку $A$ перепендикулярно плоскости рисунка, к которой приложена сила натяжения нити. Первое условие равновесия: $$

\vec{mg} + \vec{N} + \vec{F}_{тр}+ \vec{T} = 0

$$ в проекции на ось $y$: $$

-mg \cos\alpha + N +0+0 = 0.

$$ Отсюда получаем $N = mg \cos\alpha$.

Второе условие равновесия (уравнение моментов относительно точки A): $$

-F_{тр.п.max} \cdot 2R + mg \cdot R \cdot \sin\alpha = 0,

$$ $$

\mu N \cdot 2R = mg \cdot R \cdot \sin\alpha.

$$ Подставим полученное выражение для $N$ во второе условие равновесия: $$

\mu \cdot mg \cos\alpha \cdot 2 = mg \cdot \sin\alpha.

$$ Отсюда получаем $$

\tg\alpha = 2\mu,

$$ $$

\tg \alpha = 2\cdot 0.5 =1.

$$ Таким образом, угол, при котором начинается проскальзывание, $\alpha _{max} = 45^o$.

Ответ: $45^o$.