семинар 6, сложность 1

Задача 4 Условие К двум вертикально расположенным пружинам одинаковой длины подвесили однородный стержень массой $M=2$ кг и длиной $L= 40$ см. Если к этому стержню подвесить груз на расстоянии $d=5$ см от правой пружины, то стержень будет расположен горизонтально, а растяжения обеих пружин будут одинаковы (см. рис. [fig:task4_1] ). Жесткость левой пружины в $3$ раза меньше, чем у правой. Чему равна масса $m$ подвешенного груза? Сделайте рисунок с указанием сил, использованных в решении задачи. Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи. Решение Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Стержень будем считать абсолютно твердым телом. Абсолютно твердое тело участвует в двух видах движения - поступательном и вращательном. Условий равновесия два: $\vec{F}_\Sigma =\vec{0}$ и $M_\Sigma = 0$. Расставим силы, действующие на стержень (рис. [fig:task4_2] ). Определим вес груза, подвешенного к стержню (рис. [fig:task4_3] ): $$ m \vec{g} + \vec{T}= \vec{0}, \quad T = mg, $$ по третьему закону Ньютона $P= T$. Первое условие равновесия стержня: $$ \vec{F}_{y 1} + \vec{F}_{y 2} + M \vec{g} + \vec{P} = \vec{0}. $$ В проекции на вертикальную ось: $$ F_{y 1} + F_{y 2} = Mg+mg. $$ Применим закон Гука: $$ F_{упр} = k \cdot \left| \Delta l \right|, $$ $$ \left\{ \begin{array}{lll} F_{y 1} = k_1 \Delta l_1,\\ F_{y 2} = k_2 \Delta l_2. \end{array}\right. $$ Удлинения пружин одинаковые, жесткости отличаются в три раза, значит во втолько же раз отличаются силы упругости: $F_{y2} = 3F_{y1}$. Подставим в уравнение: $$ F_{y 1} + 3F_{y 1} = (M + m)g, \quad 4F_{y 1} = (M + m)g. $$ Уравнение моментов относительно правого конца (второе условие равновесия): $$ P\cdot d + Mg \cdot \frac{L}{2} - F_{упр1} \cdot L = 0, $$ $$ mg \cdot d + Mg \cdot \frac{L}{2} = F_{y 1}\cdot L. $$ Отсюда получаем $$ \left( m+M \right) g = 4 \left( \frac{mg\cdot d}{L} + Mg \cdot \frac{1}{2} \right), $$ Решим уравнение: $$ m+M = 4m \cdot \frac{d}{L} + 2M, \quad m \left( 1-\frac{4d}{L} \right) = M. $$ Найдем массу $m$: $$ m = \frac{M}{1-\frac{4d}{L}} = \frac{ML}{L-4d}. $$ Подставим известные величины и вычислим $m$: $$ m = \frac{2 кг \cdot 40 см}{40 см-4\cdot 5 см} = 4 кг. $$ Ответ: $4$ кг. Задача 5 Условие Невесомый стержень длиной $L = 3 м$, находящийся в ящике с гладкими дном и стенками, составляет с вертикалью угол $\alpha = 60^\circ$ (см. рис. [fig:task5_1] ). К стержню на расстоянии $l = 2 м$ от правого конца подвешен шар массой $m = 5 кг$. Каков модуль силы нормальной реакции $N$ правой стенки ящика, действующей на нижний конец стержня? Решение Будем решать задачу в ИСО, связанной с Землей. Стержень – абсолютно твердое тело. Условия равновесия: $\vec{F}_\Sigma = \vec{0}$, $M_\Sigma = 0$. Расставим силы, действующие на стержень (рис. [fig:task5_2] ). Первое условие равновесия: $$ \vec{N}_1 + \vec{N}_2 + \vec{N}+\vec{P}=\vec{0}. $$ Расставим силы, действующие на шар (рис. [fig:task5_3] ). Шар находится в равновесии: $$ m \vec{g}+\vec{T}=\vec{0}. $$ В проекции на вертикальную ось: $T = mg$. По третьему закону Ньютона, $T = P$. Спроецируем первое условие равновесия на ось $x$: $$ N_1 + 0-N+0=0,\ \ \ N=N_1 $$ и ось $y$: $$ 0+N_2+0-P=0,\ \ \ \ N_2=P. $$ Из геометрии задачи $AC = AB-BC$, $AC=L-l$. Применим второе условие равновесия. Уравнение моментов относительно точки $C$: $$ -N_1\cdot AC\cdot \cos \alpha +0-N\cdot CB\cdot \cos \alpha + N_2\cdot CB \sin\alpha = 0, $$ $$ -N_1\cdot \left( L-l \right) \cdot \cos \alpha - N\cdot l\cdot \cos \alpha + N_2\cdot l\cdot \sin\alpha =0, $$ $$ mg \cdot l\cdot \sin\alpha = N \left( L-l \right) \cdot \cos\alpha + N\cdot l\cdot \cos \alpha. $$ Упростим и решим получившееся уравнение: $$ mg\cdot l\cdot \sin\alpha = N\cdot l\cdot \cos \alpha, $$ $$ N = \frac{mgl \sin\alpha }{L \cos\alpha } = \frac{mg l \cdot \tg \alpha }{L}. $$ Подставим известные величины и найдем силу реакции правой стенки ящика: $$ N = \frac{5кг\cdot 10 \frac{м}{c^2}\cdot 2 м \cdot \tg 60^o}{3 м} \approx 57,8 H. $$ Ответ: $57,8 H$ Задача 6 Условие Невесомый стержень $AB$ с двумя малыми грузиками массами $m_1 = 200 г$ и $m_2 = 100 г$, расположенными в точках $C$ и $B$ соответственно, шарнирно закреплён в точке $A$. Груз массой $ M = 100 г $ подвешен к идеальному блоку за невесомую и нерастяжимую нить, другой конец которой соединён с нижним концом стержня, как показано на рис. [fig:task6_1] . Вся система находится в равновесии: стержень отклонён от вертикали на угол $\alpha = 30^\circ$, а нить составляет угол с вертикалью, равный $\beta = 30^\circ$. Расстояние $AC = b = 25 см$. Определите длину $l$ стержня $AB$. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на груз $M$ и стержень. Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи. Решение Будем решать задачу в ИСО, связанной с Землей. Стержень будем считать абсолютно твердым телом. К каждому из грузов будем применять второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек. Первое условие равновесия – $\vec{F}_\Sigma =0$. Второе условие равнов...