семинар 7, сложность 1: Часть 1

Видео

Конспект

Теоретическая справка: Признаки колебательного движения и пружинный маятник

Рассмотрим шарик массы m , прикрепленный к концу пружины жесткости k . Пружина закреплена другим концом. Шарик находится на горизонтальной гладкой поверхности (трение отсутствует). Длина нерастянутой пружины равна l_0 . Положение равновесия шарика соответствует длине пружины l_0 (рис. [fig:17]).

17 При смещении шарика из положения равновесия (например, вправо) пружина деформируется (растягивается). Возникает сила упругости, направленная к положению равновесия (влево). Эта сила является единственной нескомпенсированной силой в горизонтальном направлении (силы тяжести и реакции опоры вертикальны и уравновешены). Под действием силы упругости шарик приобретает ускорение, направленное к положению равновесия, и начинает двигаться. При прохождении положения равновесия ( x=0 ) сила упругости равна нулю, но шарик обладает скоростью и по инерции движется дальше, сжимая пружину. Далее, при сжатии возникает сила упругости, направленная против скорости шарика (к положению равновесия), которая тормозит его. В точке максимального сжатия скорость становится нулевой, после чего шарик под действием силы упругости начинает движение обратно. Далее движение повторяется.

Признаки колебательного движения:

Периодичность. Движение повторяется через равные промежутки времени.

Ограниченность. Движение происходит между двумя крайними точками (определяет амплитуду A ). Величина амплитуды зависит от начальных условий (начального смещения и/или скорости).

Наличие возвращающей силы. Сила, стремящаяся вернуть тело в положение равновесия, пропорциональна смещению ( F_{возв}\sim x ).

Введем ось Ox . Начало координат ( x=0 ) совместим с положением равновесия шарика. Смещение шарика из положения равновесия обозначим x . Абсолютная деформация пружины \left| \Delta l \right| в любой момент времени равна модулю смещения \left| x \right| .

Сила упругости (закон Гука): F_{упр} = k \cdot \left| \Delta l \right|. В проекции на ось x : \left( F_y \right)_x = -k\cdot x. Воспользуемся вторым законом Ньютона: \vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a}. В проекции на ось x : \left( F_\Sigma \right) _x = m\cdot a_x. Отсюда получаем связь между ускорением точки и величиной возвращающей силы: m\cdot a_x = -k\cdot x, a_x = -\frac{k}{m}\cdot x. Уравнение колебания в общем виде (в случае, когда начало координат совпадает с положением равновесия): a_x + \omega ^2 \cdot x= 0, \ddot{x} + \omega ^2 x =0. Сравним это уравнение с полученным ранее: a_x + \underbrace{\frac{k}{m}}_{=\omega ^2} x = 0. Таким образом, \omega ^2 = \frac{k}{m}, \quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}. Связь циклической частоты колебаний \omega и частоты \nu : \omega = 2\pi \nu. Отсюда получаем выражение для частоты колебаний: \nu = \frac{1}{2\pi } \sqrt{\frac{k}{m}}. Из связи между циклической частотой и периодом \omega = \frac{2\pi}{T} получаем выражение для периода колебаний: T = \frac{2\pi}{\omega } = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}.

Теоретическая справка: Период колебаний пружинного маятника (через координату конца пружины)

Тело массой m прикреплено к пружине жесткостью k (рис. [fig:10]). Масса пружины пренебрежимо мала по сравнению с m . Выведем тело из положения равновесия и отпустим. В системе начнутся колебания тела на пружине.

10 Введем ось x , где начало координат совпадает с точкой крепления недеформированной пружины, равновесное положение тела: x_р=l_0 (длина недеформированной пружины), координата тела совпадает с длиной деформированной пружины: x=l , смещение тела от равновесия равно абсолютной деформации пружины: \Delta l = l-l_0 = x-l_0 .

Применим закон Гука: F_{упр} = k\left| \Delta l \right|. Проекция силы упругости на ось x : \left( F_{упр} \right)_x = -k\cdot \left( x-l_0 \right).

Применим второй закон Ньютона: \vec{F}_\Sigma = m \vec{a}. Вычислим проекцию ускорения: a_x = \frac{F_{\Sigma x}}{m} = \frac{-k \left( x-l_0 \right) }{m} = - \frac{kx}{m} + \frac{kl_0}{m}, a_x + \frac{k}{m}x = \frac{kl_0}{m}. Ускорение можно записать как вторую производную координаты по времени: a_x = \ddot{x} . Поэтому уравнение может быть переписано в виде \ddot{x}+\frac{k}{m}x = Const. Известно, что уравнение вида \ddot{s}+\omega ^2 s= Const является уравнением колебаний физической величины s . Сравним полученное нами уравнение с уравнением колебаний в общем виде: \omega ^2 = \frac{k}{m}, \quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} Отсюда период колебаний пружинного маятника: T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}. Проанализируем формулу для периода. При увеличении массы тела период колебаний увеличивается (например, при увеличении массы m в 4 раза, период T увеличивается в 2 раза). При увеличении жесткости период уменьшается (например, при увеличении жесткости k в 4 раза, период T уменьшается в 2 раза.) Период не зависит от амплитуды колебаний.

Задача 1

Условие

Груз пружинного маятника, изображённого на рисунке [fig:2], совершает гармонические колебания между точками 1 и 3. Как меняются модуль скорости груза при движении: от точки 2 к точке 1, от точки 1 к точке 2, от точки 2 к точке 3, от точки 3 к точке 2?

2 Решение

Рассматриваемое колебательное движение ограничено положениями 1 и 3 . Возвращающая сила, действующая на брусок, направлена к положению равновесия (положение 2 ).

Когда пружина не деформирована и скорость бруска равна нулю, брусок находится в положении равновесия. Если сместить брусок в одно из крайних положений (1 или 3) и отпустить его, брусок придет в движение. Рассмотрим каждый случай в отдельности:

1\to 2 : в положении 1 скорость тела равна нулю. На тело действует сила упругости, сообщающая ему ускорение. Таким образом, \left| \vec{v} \right| увеличивается. В положении 2 скорость принимает наибольшее значение;

2\to 3 : тело проходит положение равновесия, пружина продолжает растягиваться, на тело действует сила упругости, направленная против скорости, и ускорение бруска противонаправлено скорости. Таким образом, \left| \vec{v} \right| уменьшается;

3\to 2 : в положении 3 брусок останавливается и начинает движение в противоположном направлении под действием силы упругости, \left| \vec{v} \right| увеличивается;

2\to 1 : пружина сжата, сила упругости направлена вправо, против направления вектора скорости, поэтому \left| \vec{v} \right| уменьшается.

Отметим, что в крайних положениях 1 и 3 скорости бруска v_3 = 0 , v_1=0 , а положению равновесия соответствует максимальная скорость v_2=v_{max} .

Задача 2

Условие

Тело совершает гармонические колебания вдоль оси Ox . В таблице приведены координаты этого тела через равные промежутки времени.

t , с

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

x , см

0

2

4

2

0

2

4

Из приведённого ниже списка выберите все верные утверждения о характере движения тела.

Частота колебаний тела равна 2,5 Гц.

В момент времени 0,4 с модуль ускорения тела максимален.

Амплитуда колебаний тела равна 4 см.

В момент времени 1,0 с тело проходит положение равновесия.

Решение

Определим, является ли рассматриваемое движение колебательным. Из анализа таблицы следует, что движение ограничено (рис. [fig:3]) и повторяется через равные промежутки времени. Точка x_0=2 см соответствует положению равновесия.

3 Амплитуда колебаний – наибольшее отклонение от положения равновесия: A=2 см = 0,02 м .

Из таблицы видно, что минимальный промежуток времени, через который движение повторяется, 0,8 с. Значит, период колебаний T = 0,8c .

Определим частоту колебаний (число колебаний в единицу времени). Частота и период - взаимно обратные числа: \nu \cdot T = 1 . Значит, частота колебаний \nu =\frac{1}{T} = \frac{1}{0,8 c} = 1,25 Гц. Найдем максимальное ускорение, зная амплитуду колебаний и циклическую частоту: a_m = \omega ^2\cdot A . Связь между частотой колебаний \nu и циклической частотой колебаний \omega : \omega = 2\pi\nu . Таким образом, максимальное ускорение a_m = 4\pi^2 \nu^2 A, a_m = 4\cdot 3,14^2 \cdot (1,25 Гц)^2 \cdot 0,02 м \approx 1 \frac{м}{c^2} Ответ: 1,25 Гц, 1 \frac{м}{c^2} ; 0,02 м . (Верно утверждение 2).