семинар 7, сложность 1

Теоретическая справка: Период колебаний вертикального пружинного маятника Тело массой $m$ подвешено на невесомой пружине жесткостью $k$ (рис. [fig:11] ). В положении равновесия пружина растянута на величину $y_0$ под действием веса груза: $$ mg = ky_0, \quad y_0 = \frac{mg}{k}. $$ Сместим тело из положения равновесия и рассмотрим его дальнейшее движение (колебательное движение) (рис. [fig:12] ). Введем координатную ось $y$. Начало координат ($y=0$) совмещено с положением равновесия (не с концом недеформированной пружины!). Применим второй закон Ньютона: $$ \vec{F}_\Sigma = m \vec{a}. $$ На тело действуют сила тяжести и сила упругости: $$ F_{упр} = k \left| \Delta l \right|, $$ то есть равнодействующая сил $\vec{F}_\Sigma = \vec{F}_{упр} + \vec{F}_T$. Рассмотрим случай удлинения пружины относительно равновесного положения. Тогда абсолютное удлинение (с учетом начала отсчета координаты $y$): $$ \Delta l = \left| y_0 \right|+\left| y \right| = \frac{mg}{k} + \left( -y \right), $$ проекция силы упругости: $$ \left( F_{упр} \right)_y = k\cdot \left( \frac{mg}{k} - y \right), $$ проекция силы тяжести: $$ \left( F_T \right) _y = -mg. $$ Итак, второй закон Ньютона в проекции на ось $y$: $$ m\cdot a_y = k \left( \frac{mg}{k} - y \right) + \left( -mg \right), $$ $$ m \cdot a_y = -ky. $$ Полученное уравнение аналогично уравнению для горизонтальных колебаний пружинного маятника. Преобразуем наше уравнение к каноническому виду: $$ m a_y + ky = 0, \quad a_y + \frac{k}{m}y = 0. $$ Отсюда получаем выражение для циклической частоты: $$ \omega ^2 = \frac{k}{m},\ \ \ \ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}. $$ Период колебаний $$ T = \frac{2\pi}{\omega } = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}. $$ Заметим, что период в случае вертикальных колебаний совпадает с периодом в случае горизонтальных колебаний, т.к. сила тяжести только лишь смещает положение равновесия.