семинар 7, сложность 1: Часть 3

Видео

Конспект

Теоретическая справка: Период колебаний вертикального пружинного маятника

Тело массой $m$ подвешено на невесомой пружине жесткостью $k$ (рис. [fig:11]).

11

В положении равновесия пружина растянута на величину $y_0$ под действием веса груза: $$

mg = ky_0, \quad y_0 = \frac{mg}{k}.

$$ Сместим тело из положения равновесия и рассмотрим его дальнейшее движение (колебательное движение) (рис. [fig:12]).

12

Введем координатную ось $y$. Начало координат ($y=0$) совмещено с положением равновесия (не с концом недеформированной пружины!).

Применим второй закон Ньютона: $$

\vec{F}_\Sigma = m \vec{a}.

$$ На тело действуют сила тяжести и сила упругости: $$

F_{упр} = k \left| \Delta l \right|,

$$ то есть равнодействующая сил $\vec{F}_\Sigma = \vec{F}_{упр} + \vec{F}_T$.

Рассмотрим случай удлинения пружины относительно равновесного положения. Тогда абсолютное удлинение (с учетом начала отсчета координаты $y$): $$

\Delta l = \left| y_0 \right|+\left| y \right| = \frac{mg}{k} + \left( -y \right),

$$ проекция силы упругости: $$

\left( F_{упр} \right)_y = k\cdot \left( \frac{mg}{k} - y \right),

$$ проекция силы тяжести: $$

\left( F_T \right) _y = -mg.

$$ Итак, второй закон Ньютона в проекции на ось $y$: $$

m\cdot a_y = k \left( \frac{mg}{k} - y \right) + \left( -mg \right),

$$ $$

m \cdot a_y = -ky.

$$ Полученное уравнение аналогично уравнению для горизонтальных колебаний пружинного маятника. Преобразуем наше уравнение к каноническому виду: $$

m a_y + ky = 0, \quad a_y + \frac{k}{m}y = 0.

$$ Отсюда получаем выражение для циклической частоты: $$

\omega ^2 = \frac{k}{m},\ \ \ \ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.

$$ Период колебаний $$

T = \frac{2\pi}{\omega } = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}.

$$ Заметим, что период в случае вертикальных колебаний совпадает с периодом в случае горизонтальных колебаний, т.к. сила тяжести только лишь смещает положение равновесия.