семинар 1: Часть 1

Видео

Конспект

Поступательное движение без трения

Задача 1

Условие

При каком минимальном значении силы F и какая из нерастяжимых нити, связывающих грузы, разорвется, если она выдерживает предельную нагрузку F_0 = 100\ H ? Массы грузов m , 2m , 3m . Трением пренебречь.

2task Решение

Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной со столом. Будем применять второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек, так как грузы движутся поступательно: \vec{F}_\sigma = m\cdot \vec{a}. Расставим силы, действующие на каждое из тел (рис. [fig:t4]). Учтем, что нить невесома, поэтому силы натяжения нити одинакова по всей длине нити.

t4 Грузы движутся поступательно и прямолинейно, а нити нерастяжимы, поэтому модули ускорений грузов одинаковы: \left| \vec{a}_1 \right| = \left| \vec{a}_2 \right| = \left| \vec{a}_3 \right| = a. Итак, ускорения всех грузов равны по модулю и направлены вправо. Мысленно объединим все три тела в систему. Нити в такой системе являются внутренними безмассовыми телами, скрепляющими тела системы между собой. Применим второй закон Ньютона к системе: \vec{F}_{min} + \left( \vec{N}_1+\vec{N}_2+\vec{N}_3 \right) + \left( m_1+m_2+m_3 \right) \vec{g} = \left( m_1+m_2+m_3 \right) \vec{a}. Спроецируем векторы на ось x : F_{min} + 0+0=\left( m_1+m_2+m_3 \right) a. Отсюда получим выражение для ускорения a = \frac{F_{min}}{m_1+m_2+m_3}. Воспользуемся этим выражением, чтобы определить силы натяжения нитей. Для этого применим второй закон Ньютона ко второму и третьему телам: \vec{F}_{min} + m_1 \vec{g}+\vec{N}_1+\vec{T}_1 = m_1\cdot \vec{a}_1, \vec{T}_2 + m_3 \vec{g} + \vec{N}_3 = m_3 \cdot \vec{a}_3. Спроецируем векторы из первого уравнения на ось x : F_{min} +0+0-T_1=m_1a. Отсюда получим выражение для силы натяжения первой нити: T_1 = F_{min} - m_1a = F_{min} - \frac{m_1F_{min}}{m_1+m_2+m_3}= \frac{F_{min}\left( m_2+m_3 \right)}{m_1+m_2+m_3}. Спроецировав векторы из второго уравнения на ось x , получим T_2+0+0=m_3\cdot a, T_2 = \frac{F_{min}\cdot m_3}{m_1+m_2+m_3}. Упростим полученные выражения для сил натяжения нитей. Для этого учтем, что m_1=m , m_2=2m , m_3=3m : T_1 = F_{min} \cdot \frac{5}{6}, T_2 = F_{min} \cdot \frac{3}{6}. Значит, T_2<T_1 (вторая нить всегда натянута слабее первой). Отсюда можно сделать вывод, что первой порвется первая нить. Учтем, что нить выдерживает нагрузку F_0=100\ H : F_0=F_{min} \cdot \frac{5}{6}. Отсюда получаем F_{min} = \frac{6}{5}F_0 = \frac{6}{5} \cdot 100\ H = 120\ H.

Ответ: 120\ H .

Задача 2

Условие

К стержню длиной l приложены силы F_1 и F_2 , как показано на рисунке. Найти силу натяжения стержня в сечении, находящемся на расстоянии x от его левого конца ( F_2>F_1 ).

4task Решение

Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной со столом. Применим второй закон Ньютона: \vec{a} = \frac{\vec{F}_{\Sigma }}{m}. На тело действуют две силы – F_1 и F_2 . Поэтому \vec{a} = \frac{\vec{F}_1+\vec{F}_2}{m}. Здесь мы учли, что сила тяжести и сила реакции опоры компенсируют друг друга: \underbrace{\vec{F}_T+\vec{N}}_{\vec{0}} +\vec{F}_1 + \vec{F}_2 = m\cdot \vec{a}. Мысленно разделим тело на две части. Пусть длина первой части равна x , тогда длина второй части равна l-x . Стержень однородный, поэтому массы частей пропорциональны их длинам: m_1 = m\cdot \frac{l-x}{l}, m_2 = m\cdot \frac{x}{l}. Рассмотрим силы, действующие на каждую из выделенных частей (рис. [fig:t8]). Учтем, что помимо силы тяжести и силы реакции опоры на каждую из двух частей стержня действует сила упругости, возникающая из-за деформации стержня.

t8 Применим второй закон Ньютона для части стержня длиной x : m_2 \vec{g} + \vec{N}_2 + \vec{F}_{упр} + \vec{F}_2 = m_2\cdot \vec{a}_2. Так как стержень нерастяжимый, ускорения первой и второй частей одинаковы между собой и равны ускорению стержня: \left| \vec{a}_1 \right| = \left| \vec{a}_2 \right| = \left| \vec{a} \right|. Сила тяжести и сила реакции опоры компенсируют друг друга, поэтому выражение для силы упругости имеет вид \begin{aligned}

\vec{F}_{упр} = m_2 \vec{a} - \vec{F}_2 = \frac{mx}{l} \frac{\left( \vec{F}_1+\vec{F}_2 \right) }{m} - \vec{F}_2 = \left( \vec{F}_1+\vec{F}_2 \right) \cdot \frac{x}{l} - \vec{F}_2 = \nonumber\\

=\frac{\vec{F}_1\cdot x+\vec{F}_2x - \vec{F}_2\cdot l}{l} = \frac{\vec{F}_1x-\vec{F}_2\left( x-l \right) }{l} \nonumber

\end{aligned} Проанализируем полученное выражение, рассмотрев проекцию силы упругости на ось x : \begin{aligned}

F_{упр\ x} = \frac{F_1\cdot x - \left( -F_2 \right) \left( l-x \right) }{l} = \frac{F_1x+F_2l - F_2x}{l} = \frac{\left( F_1-F_2 \right) x+F_2l}{l} = \nonumber\\

=\left( F_1-F_2 \right) \cdot \frac{x}{l} + F_2 \nonumber

\end{aligned}

Ответ:

Если F_1>F_2 , то F_{упр} > F_2 .

Если F_1<F_2 , то F_1-F_2<0 и F_{упр}<F_2 .

Если x=0 , то F_{упр}=F_2 .

Если x=l , то F_{упр} = F_1 .