семинар 1: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 3

Условие

Тело соскальзывает без начальной скорости с наклонной плоскости. Определить время спуска, если высота наклонной плоскости $30$ см, ее длина $50$ см. Трением пренебречь.

5task

Решение

Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной со столом. Тело будем считать материальной точкой, так как его размерами по сравнению с размерами наклонной плоскости можно пренебречь.

10

Применим второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек: $$

\vec{F}_{\Sigma } = m\cdot \vec{a}.

$$ Расставим силы, действующие на брусок (рис. [fig:10]). Второй закон Ньютона для бруска имеет вид: $$

m \vec{g} + \vec{N} = m\cdot \vec{a}.

$$ Спроецируем векторы на ось $x$: $$

mg\cdot \sin\alpha +0=m\cdot a,

$$ $$

mg \cdot \sin\alpha = ma.

$$ Отсюда получим выражение для ускорения: $$

a = g\cdot \sin\alpha.

$$ Воспользуемся геометрическими данными задачи и найдем $\sin\alpha $: $$

\sin\alpha = \frac{h}{S} = \frac{30 см}{50 см} = 0,6.

$$ Таким образом, $$

a = 10 \frac{м}{c^2} \cdot 0,6 = 6 \frac{м}{c^2}.

$$ Теперь нам известна начальная скорость бруска и его ускорение. Значит, мы можем воспользоваться уравнением для перемещения при равноускоренном движении: $$

\Delta x = v_{0x} \cdot t + \frac{a_xt^2}{2}.

$$ Перемещение равно пройденному телом пути (то есть длине склона $S$): $$

S = 0\cdot t + \frac{a\cdot t^2}{2}.

$$ Таким образом, за время $t$ брусок пройдет путь $$

S = \frac{at^2}{2}.

$$ Отсюда получаем $$

t = \sqrt{\frac{2S}{a}},

$$ $$

t = \sqrt{\frac{2\cdot 0.5 м}{6 \frac{м}{c^2}}} \approx 0,41\ c.

$$

Ответ: 0,41 c.

Задача 4

Условие

С какой горизонтальной силой надо действовать на брусок массой $2$ кг, находящийся на наклонной плоскости с углом наклона $30^o$, чтобы он двигался равномерно вверх по наклонной плоскости?

6task

Решение

Будем решать задачу в инерциальной системе отсчёта, связанной со столом. Брусок движется поступательно, поэтому применим второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек.

Расставим силы, действующие на брусок (рис. [fig:12]). По условию задачи трение отсутствует.

12

По условию скорость бруска постоянна: $\vec{v} = \vec{C}onst$. Значит, его ускорение равно нулю $\vec{a}=\vec{0}$, и второй закон Ньютона $\vec{F}_{\Sigma } = m\cdot \vec{a}$ принимает вид $\vec{F}_{\Sigma }= \vec{0}$, а именно: $$

\vec{F}+\vec{N}+m \vec{g} = \vec{0}

$$ Спроецируем векторы на ось $x$, направленную вдоль наклонной плоскости: $$

-F \cdot \cos\alpha +0+mg \cdot \sin\alpha =0.

$$ Отсюда получаем $$

F\cdot \cos\alpha = mg \cdot \sin\alpha ,

$$ $$

F = \frac{mg \sin\alpha }{\cos\alpha } = mg \cdot \tg\alpha .

$$ Вычислим модуль силы: $$

F = 2 кг \cdot 10 \frac{м}{c} \cdot \tg 30^o = \frac{20H}{\sqrt{3}} \approx \frac{20}{1,73}H \approx 11,6 H.

$$

Ответ: $11,6 \ H$.

Задача 5

Условие

На гладкой наклонной плоскости длиной $S = 1$ м и высотой $h = 60$ см находится груз массой $m_2$. Он связан невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через идеальный блок на вершине наклонной плоскости, с другим грузом массой $m_1$, который свисает вертикально вниз. Начальная скорость грузов равна нулю.

Определите ускорение $a$, с которым будут двигаться грузы, и силу натяжения нити $T$. Трением пренебречь.

Решение

Вычислим синус угла наклона плоскости $\alpha$: $$

\sin\alpha = \frac{h}{S} = \frac{0,6 м}{1 м} = 0,6.

$$

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме. ИСО свяжем со столом: $$

\vec{F}_{\Sigma} = m \cdot \vec{a}

$$

Учитывая нерастяжимость нити и идеальность блока, силы натяжения и ускорения равны по модулю: $$

|\vec{T}_1| = |\vec{T}_2| = T; \quad |\vec{a}_1| = |\vec{a}_2| = a.

$$ Ускорения тел равны: $a_x = a_y$.

Уравнения движения для каждого тела: $$

1 тело: m_1 \vec{g} + \vec{T}_1 = m_1 \cdot \vec{a}_1

$$ $$

2 тело: m_2 \vec{g} + \vec{T}_2 + \vec{N} = m_2 \cdot \vec{a}_2

$$

Спроецируем векторы на оси координат: $$

на ось y: \quad -m_1 g + T_1 = m_1 \cdot a_y

$$ $$

на ось x: \quad m_2 g \cdot \sin\alpha - T_2 = m_2 \cdot a_x

$$

С учетом равенства сил натяжения и ускорений ($T_1 = T_2 = T$ и $a_x = a_y$) запишем систему: $$

\begin{cases}

-m_1 g + T = m_1 \cdot a_x \\

m_2 g \cdot \sin\alpha - T = m_2 \cdot a_x

\end{cases}

$$

Сложим первое и второе уравнения системы: $$

m_2 g \cdot \sin\alpha - m_1 g = m_1 \cdot a_x + m_2 \cdot a_x

$$ $$

(m_2 \sin\alpha - m_1) \cdot g = (m_1 + m_2) \cdot a_x

$$

Отсюда получаем выражение для ускорения $a_x$ (подставив $\sin\alpha = 0,6$): $$

a_x = \frac{m_2 \sin\alpha - m_1}{m_1 + m_2} \cdot g = \frac{0,6 m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \cdot g.

$$

Проведем анализ знака ускорения:

1) $0,6 m_2 > m_1; \quad m_2 > \frac{5}{3} m_1; \quad a_x > 0$

2) $0,6 m_2 < m_1; \quad m_2 < \frac{5}{3} m_1; \quad a_x < 0$

3) $0,6 m_2 = m_1; \quad m_2 = \frac{5}{3} m_1; \quad a_x = 0$

Вычислим силу натяжения нити $T$ из первого уравнения системы: $$

T = m_1 (a_x + g) = m_1 \left( \frac{0,6 m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \cdot g + g \right) =

$$ $$

= m_1 g \left( \frac{0,6 m_2 - m_1 + m_1 + m_2}{m_1 + m_2} \right) = \frac{1,6 m_1 m_2}{m_1 + m_2} \cdot g.

$$

Ответ: $a_x = \frac{0,6 m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \cdot g, \quad T = \frac{1,6 m_1 m_2}{m_1 + m_2} \cdot g$.