семинар 1

Задача 3 Условие Тело соскальзывает без начальной скорости с наклонной плоскости. Определить время спуска, если высота наклонной плоскости $30$ см, ее длина $50$ см. Трением пренебречь. Решение Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной со столом. Тело будем считать материальной точкой, так как его размерами по сравнению с размерами наклонной плоскости можно пренебречь. Применим второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек: $$ \vec{F}_{\Sigma } = m\cdot \vec{a}. $$ Расставим силы, действующие на брусок (рис. [fig:10] ). Второй закон Ньютона для бруска имеет вид: $$ m \vec{g} + \vec{N} = m\cdot \vec{a}. $$ Спроецируем векторы на ось $x$: $$ mg\cdot \sin\alpha +0=m\cdot a, $$ $$ mg \cdot \sin\alpha = ma. $$ Отсюда получим выражение для ускорения: $$ a = g\cdot \sin\alpha. $$ Воспользуемся геометрическими данными задачи и найдем $\sin\alpha $: $$ \sin\alpha = \frac{h}{S} = \frac{30 см}{50 см} = 0,6. $$ Таким образом, $$ a = 10 \frac{м}{c^2} \cdot 0,6 = 6 \frac{м}{c^2}. $$ Теперь нам известна начальная скорость бруска и его ускорение. Значит, мы можем воспользоваться уравнением для перемещения при равноускоренном движении: $$ \Delta x = v_{0x} \cdot t + \frac{a_xt^2}{2}. $$ Перемещение равно пройденному телом пути (то есть длине склона $S$): $$ S = 0\cdot t + \frac{a\cdot t^2}{2}. $$ Таким образом, за время $t$ брусок пройдет путь $$ S = \frac{at^2}{2}. $$ Отсюда получаем $$ t = \sqrt{\frac{2S}{a}}, $$ $$ t = \sqrt{\frac{2\cdot 0.5 м}{6 \frac{м}{c^2}}} \approx 0,41\ c. $$ Ответ: 0,41 c. Задача 4 Условие С какой горизонтальной силой надо действовать на брусок массой $2$ кг, находящийся на наклонной плоскости с углом наклона $30^o$, чтобы он двигался равномерно вверх по наклонной плоскости? Решение Будем решать задачу в инерциальной системе отсчёта, связанной со столом. Брусок движется поступательно, поэтому применим второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек. Расставим силы, действующие на брусок (рис. [fig:12] ). По условию задачи трение отсутствует. По условию скорость бруска постоянна: $\vec{v} = \vec{C}onst$. Значит, его ускорение равно нулю $\vec{a}=\vec{0}$, и второй закон Ньютона $\vec{F}_{\Sigma } = m\cdot \vec{a}$ принимает вид $\vec{F}_{\Sigma }= \vec{0}$, а именно: $$ \vec{F}+\vec{N}+m \vec{g} = \vec{0} $$ Спроецируем векторы на ось $x$, направленную вдоль наклонной плоскости: $$ -F \cdot \cos\alpha +0+mg \cdot \sin\alpha =0. $$ Отсюда получаем $$ F\cdot \cos\alpha = mg \cdot \sin\alpha , $$ $$ F = \frac{mg \sin\alpha }{\cos\alpha } = mg \cdot \tg\alpha . $$ Вычислим модуль силы: $$ F = 2 кг \cdot 10 \frac{м}{c} \cdot \tg 30^o = \frac{20H}{\sqrt{3}} \approx \frac{20}{1,73}H \approx 11,6 H. $$ Ответ: $11,6 \ H$. Задача 5 Условие На гладкой наклонной плоскости длиной $S = 1$ м и высотой $h = 60$ см находится груз массой $m_2$. Он связан невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через идеальный блок на вершине наклонной плоскости, с другим грузом массой $m_1$, который свисает вертикально вниз. Начальная скорость грузов равна нулю. Определите ускорение $a$, с которым будут двигаться грузы, и силу натяжения нити $T$. Трением пренебречь. Решение Вычислим синус угла наклона плоскости $\alpha$: $$ \sin\alpha = \frac{h}{S} = \frac{0,6 м}{1 м} = 0,6. $$ Запишем второй закон Ньютона в векторной форме. ИСО свяжем со столом: $$ \vec{F}_{\Sigma} = m \cdot \vec{a} $$ Учитывая нерастяжимость нити и идеальность блока, силы натяжения и ускорения равны по модулю: $$ |\vec{T}_1| = |\vec{T}_2| = T; \quad |\vec{a}_1| = |\vec{a}_2| = a. $$ Ускорения тел равны: $a_x = a_y$. Уравнения движения для каждого тела: $$ 1 тело: m_1 \vec{g} + \vec{T}_1 = m_1 \cdot \vec{a}_1 $$ $$ 2 тело: m_2 \vec{g} + \vec{T}_2 + \vec{N} = m_2 \cdot \vec{a}_2 $$ Спроецируем векторы на оси координат: $$ на ось y: \quad -m_1 g + T_1 = m_1 \cdot a_y $$ $$ на ось x: \quad m_2 g \cdot \sin\alpha - T_2 = m_2 \cdot a_x $$ С учетом равенства сил натяжения и ускорений ($T_1 = T_2 = T$ и $a_x = a_y$) запишем систему: $$ \begin{cases} -m_1 g + T = m_1 \cdot a_x \\ m_2 g \cdot \sin\alpha - T = m_2 \cdot a_x \end{cases} $$ Сложим первое и второе уравнения системы: $$ m_2 g \cdot \sin\alpha - m_1 g = m_1 \cdot a_x + m_2 \cdot a_x $$ $$ (m_2 \sin\alpha - m_1) \cdot g = (m_1 + m_2) \cdot a_x $$ Отсюда получаем выражение для ускорения $a_x$ (подставив $\sin\alpha = 0,6$): $$ a_x = \frac{m_2 \sin\alpha - m_1}{m_1 + m_2} \cdot g = \frac{0,6 m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \cdot g. $$ Проведем анализ знака ускорения: 1) $0,6 m_2 > m_1; \quad m_2 > \frac{5}{3} m_1; \quad a_x > 0$ 2) $0,6 m_2 3) $0,6 m_2 = m_1; \quad m_2 = \frac{5}{3} m_1; \quad a_x = 0$ Вычислим силу натяжения нити $T$ из первого уравнения системы: $$ T = m_1 (a_x + g) = m_1 \left( \frac{0,6 m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \cdot g + g \right) = $$ $$ = m_1 g \left( \frac{0,6 m_2 - m_1 + m_1 + m_2}{m_1 + m_2} \right) = \frac{1,6 m_1 m_2}{m_1 + m_2} \cdot g. $$ Ответ: $a_x = \frac{0,6 m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \cdot g, \quad T = \frac{1,6 m_1 m_2}{m_1 + m_2} \cdot g$.