семинар 3, сложность 1: Часть 1

Видео

Конспект

Динамика движения материальной точки по окружности

Основное уравнение динамики

Применяем второй закон Ньютона к материальной точке массой m , движущейся по окружности радиуса r постоянного радиуса r= Const : \vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a}. Равнодействующая сила F, сообщающая ускорение, всегда направлена внутрь закругления траектории.

Движение по криволинейной траектории требует изменения направления вектора скорости. Это изменение обеспечивается центростремительным (нормальным) ускорением: a_n = \frac{v^2}{r}. Если модуль скорости v постоянен, равнодействующая сила направлена к центру окружности (центру кривизны траектории), а тангенциальное ускорение равно нулю a_\tau = 0 .

Если модуль скорости v изменяется, кроме нормального (центростремительного) ускорения, появляется тангенциальное ускорение a_\tau , характеризующее изменение величины скорости (рис. [fig:t1]). Оно связано с угловым ускорением \beta соотношением: a_\tau = \beta \cdot r.

t1 Полное ускорение является векторной суммой нормальной и тангенциальной компонент: \vec{a}= \vec{a}_n + \vec{a}_\tau. Модуль полного ускорения: \left| \vec{a} \right| = \sqrt{ \left|\vec{a}_n \right|^2 + \left| \vec{a}_\tau \right|^2 }. Линейная скорость связана с радиусом кривизны траектории: v = \omega \cdot r. Тогда нормальное ускорение имеет следующую связь с угловой скоростью: a_n = \omega ^2 \cdot r. Знак тангенциального ускорения a_\tau (и проекции силы F_\tau на тангенциальную ось, совпадающую с вектором мгновенной скорости) определяет изменение модуля скорости: если \vec{a}_\tau сонаправлено с \vec{v} , модуль скорости увеличивается, если \vec{a}_\tau противоположно направлено \vec{v} , модуль скорости уменьшается.

Уравнение вращательного движения

Без ограничения общности зададим направления скорости и силытак, как показано на рисунке (рис. [fig:t2]). Применим второй закон Ньютона.

t2 Найдем проекции силы на нормальную и тангенциальную оси: F_n = F\cdot \cos \alpha, F_\tau = F\cdot \sin\alpha. Тогда из второго закона Ньютона получаем \left\{

\begin{array}{lll}

F_n = m\cdot a_n,\\

F_\tau = m\cdot a_\tau.

\end{array}\right. Рассмотрим подробнее второе уравнение системы: F\cdot \sin\alpha = m\cdot \beta \cdot r. где угловое ускорение показывает быстроту изменения угловой скорости: \beta = \frac{\Delta \omega }{\Delta t}\Big|_{\Delta t \to 0}. Умножим рассматриваемое уравнение на r слева и справа: r\cdot F\cdot \sin\alpha = m\cdot r^2 \cdot \beta . Отметим, что в левая часть уравнения представляет собой момент силы M . Введем обозначение J \equiv mr^2 (момент инерции материальной точки). Тогда уравнение приобретает вид: M = J\cdot \beta. Это уравнение указывает на связь между величиной, характеризующей вращательное действие силы и угловым ускорением, которое это сила сообщает: \beta = \frac{M}{J}. Момент инерции материальной точки – J = m\cdot r^2, \left[ J \right] = 1 кг\cdot м^2.

Векторная форма уравнений вращательного движения материальной точки

Второй закон Ньютона \vec{F} = m\cdot \vec{a} можно применить к динамике движения по криволинейной траектории.

Момент силы, действующей на материальную точку относительно точки O (центра окружности/оси вращения), определяется как векторное произведение: \vec{M} = \vec{r}\times \vec{F}. Для любого вектора \vec{c} , являющегося векторным произведением векторов \vec{a} и \vec{b} \vec{c}= \vec{a}\times \vec{b}, направление определяется правилом правого винта, а модуль – по формуле \left| \vec{c} \right| = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \sin\alpha. Таким образом, направление псевдовектора \vec{M} определяется правилом правого винта (буравчика) и ортогонально (перпендикулярно) плоскости, содержащей векторы \vec{r} и \vec{F} .

Вернемся ко второму закону Ньютона. Умножим обе части уравнения векторно слева на \vec{r} : \vec{r}\times \vec{F} = m\cdot \vec{r} \times \vec{a}. В левой части уравнения – момент силы. В правой части уравнения – полное ускорение, которое можно представить в виде \vec{a}=\vec{a}_n + \vec{a}_\tau. Преобразуем полученное равенство: \vec{r}\times \vec{F} = m \vec{r} \times \left( \vec{a}_n + \vec{a}_\tau \right) = m \big( \underbrace{\vec{r} \times \vec{a}_n}_{=0} + \vec{r} \times \vec{a}_\tau \big) = m\cdot \vec{r} \times \vec{a}_\tau = m\cdot \vec{r} \times \left( \vec{\beta}\times \vec{r} \right). Для двойного векторного произведения справедлива следующая формула: \vec{a}\times \vec{b}\times \vec{c} = \vec{b}\cdot \left( \vec{a},\vec{c} \right) - \vec{c}\cdot \left( \vec{a},\vec{b} \right). Воспользуемся этой формулой для преобразования правой части полученного ранее равенства: \vec{r}\times \vec{\beta} \times \vec{r} = \vec{\beta}\cdot \left( \vec{r},\vec{r} \right) - \vec{r}\cdot \underbrace{\left( \vec{r},\vec{\beta} \right)}_{=0} = \vec{\beta}\cdot r^2. Здесь мы воспользовались определением скалярного произведения: c = \left( \vec{a},\vec{b} \right) = \left| \vec{a} \right| \cdot |\vec{b}|\cdot \cos \alpha. Таким образом, получаем \vec{M} = \vec{\beta}\cdot r^2\cdot m. Учтем обозначение J = mr^2 . Отсюда получаем \vec{\beta} = \frac{\vec{M}}{J} – вращательный аналог второго закона Ньютона в векторной форме.

Задача 1

Условие

Найти силу упругости T нити в момент, соответствующий рисунку, если масса груза равна m=100 г, скорость движения v=2\ \frac{м}{c} , угол \alpha =60^o , длина нити l=40\ cm .

task1 Решение

Скорость всегда направлена по касательной к траектории. Значит, она составляет прямой угол с нитью (рис. [fig:2]).

2 Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Тело будем считать материальной точкой, так как его размерами можно пренебречь по сравнению с длиной нити. Для поиска силы натяжения нити воспользуемся вторым законом Ньютона: \vec{F}_\Sigma = m \vec{a}. Расставим силы, действующие на точку в процессе движения (рис. [fig:3]).

3 Запишем второй закон Ньютона: m \vec{g}+\vec{T} = m \vec{a}. Проекция полного ускорения на нормальную ось вычисляется через модуль скорости и радиус поворота: a_n = \frac{v^2}{l}. Поэтому единственной осью, на которой имеет смысл определять проекции сил, является ось n : -mg \cos\alpha +T=m a_n, T = m \left( \frac{v^2}{l}+g\cos\alpha \right), T = 0.1 кг \left( \frac{\left( 2 \frac{м}{c} \right)^2 }{0.4 м} + 10 \frac{м}{c^2} \cdot \cos 60^o \right) = 1.5 H. Обратим внимание, что натяжение нити в рассматриваемой промежуточной точке T>mg .

Дополнительное исследование: Чему равно ускорение тела в крайней точке (то есть когда скорость тела равна нулю)?

Отметим, что в этом случае сила тяжести и сила натяжения нити не лежат на одной прямой (рис. [fig:4]). Значит, равнодействующая этих сил не равна нулю.

4 Заметим, что пока скорость равна нулю, то и нормальное ускорение равно нулю: a_n = \frac{v_0^2}{l} = 0 \frac{м}{c^2}. Однако полное ускорение при этом ненулевое. Значит, проекция ускорения на ось, совпадающей с касательной к траектории (ось \tau ) не равна нулю. Более того, полное ускорение совпадает со своей проекцией на ось \tau .

Проекция ускорения на тангенциальную ось задана вторым законом Ньютона и определяется проекциями сил на тангенциальную ось: m\cdot a_\tau = mg \cdot \cos \left( 90^o-\alpha _m \right), a_\tau = g \cdot \sin\alpha _m \neq 0. Чтобы получить натяжение нити в данном положении, достаточно спроецировать второй закон Ньютона на нормальную ось: T_0-mg \cos \alpha _m = 0, T_0 = mg\cdot \cos\alpha _m. Таким образом, в процессе колебания натяжение нити, модуль ускорения, модуль скорость, нормальное и тангенциальное ускорения меняются.

Ответ: 1.5\ H .