семинар 3, сложность 1

Задача 2 Условие Машина массой $2$ т движется со скоростью $72 \frac{км}{ч}$ по выпуклому мосту вогнутому мосту радиус кривизны которого $100 м$. С какой силой (в $kH$) давит машина на мост, проезжая через его середину? $g=10 \frac{м}{c^2}$. Решение Если бы автомобиль покоился, то в обоих случаях сила реакции покоя уравновешивала бы силу тяжести, и сила давления на опору была бы равна силе тяжести. Однако, когда автомобиль движется, он проходит закругление радиуса $R$, поэтому сила реакции опоры уже не будет равна силе тяжести. Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Размерами автомобиля по сравнению с мостом можно пренебречь. Поэтому далее будем применять второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек: $$ \vec{F}_\Sigma = m \vec{a}. $$ Рассмотрим первый случай – машина движется по выпуклому мосту. В этом случае центр закругления находится ниже опоры (рис. [fig:5] ). На автомобиль действуют сила тяжести и сила реакции опоры. Действуя совместно, эти две силы сообщают автомобилю ускорение, направленное к центру закругления (центростремительное ускорение): $$ m \vec{g} + \vec{N}_1 = m \vec{a}_{ц.с.}. $$ Проекция на нормальную ось: $$ mg - N_1 = m\cdot a_{ц.с.}. $$ Напомним, что $$ a_{ц.с.} = \frac{v^2}{R} = \frac{\left( 20 \frac{м}{c} \right)^2}{100 м} = 4 \frac{м}{c^2}. $$ Итак, сила реакции опоры при прохождении выпуклого моста $$ N_1 = m \left( g-a_{ц.с.} \right), $$ $$ N_1 = 2000 кг \left( 10 \frac{м}{c^2} - 4 \frac{м}{c^2} \right) = 12000 \ H = 12\ kH. $$ По третьему закону Ньютона, $P_1 = N_1$, поэтому нормальная сила давления равна $$ P_1 = 12\ kH [fig:6] ). На автомобиль действуют сила тяжести и сила реакции опоры. При этом сила реакции опоры должна превышать значение силы тяжести, чтобы их равнодействующая была направлена вверх. Запишем второй закон Ньютона: $$ m \vec{g} + \vec{N}_2 = m\cdot \vec{a}_{ц.с.} $$ и спроецируем его на ось $y$: $$ -mg +N_2 = m\cdot a_{ц.с.}. $$ Отсюда получаем $$ N_2 = m \left( g+a_{ц.с.} \right), $$ $$ N_2 = 2000 кг \left( 10 \frac{м}{c^2}+4 \frac{м}{c^2} \right) = 2800\ H = 28\ kH. $$ По третьему закону Ньютона, сила давления равна сила реакции опоры: $P_2=N_2$. Поэтому искомая сила давления $$ P_2 = 28\ kH > 20\ kH. $$ Ответ: $12\ kH$, $28\ kH$. Задача 3 Условие Груз, подвешенный на нити длиной $l=60\ см$, двигаясь равномерно, описывает в горизонтальной плоскости окружность. С какой скоростью $v$ движется груз, если во время его движения нить образует с вертикалью постоянный угол $\alpha =30^o$? Решение Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Размерами грузика можно пренебречь по сравнению с длиной нити. Поэтому далее будем применять второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек: $$ \vec{F}_\Sigma = m \vec{a}. $$ Расставим силы, действующие на груз в процессе такого движения (рис. [fig:7] ). Отметим, что центростремительное (нормальное) ускорение направлено к центру поворота (точка $O$). Напомним связь между центростремительным ускорением и скоростью: $a_n = \frac{v^2}{R}$. Найдем радиус поворота: $$ R = l \cdot \sin\alpha. $$ Запишем второй закон Ньютона: $$ \vec{T}+m \vec{g} = m \vec{a}_n. $$ Проекция на ось $x$: $$ T\sin\alpha +0 = m \frac{v^2}{R}. $$ Проекция на ось $y$: $$ T \cos\alpha - mg = m\cdot 0. $$ Преобразуем полученные выражения и объединим их в одну систему для совместного решения: $$ \left\{ \begin{array}{lll} T\sin\alpha = \frac{mv^2}{l\cdot \sin\alpha },\\ T\cos\alpha = mg. \end{array}\right. $$ Разделим (почленно) первое уравнение на второе: $$ \frac{\sin\alpha }{\cos\alpha } = \frac{v^2}{gl\sin\alpha }. $$ Отсюда получаем $$ v^2 = \frac{gl\sin^2\alpha }{\cos\alpha }, $$ $$ v = \sin \alpha \sqrt{\frac{gl}{\cos\alpha }}, $$ $$ v = \sin 30^o \sqrt{\frac{10 \frac{м}{c^2}\cdot 0.6 м}{\cos 30^o}} \approx 1.3 \frac{м}{c}. $$ Ответ: $1.3 \frac{м}{c}$. Задача 4 Условие На доске $BA$ укреплен на вертикальной стойке, отстающей от оси вращения на расстоянии $d$, отвес. Доска равномерно вращается вокруг вертикальной оси $OO'$. Какова частота обращения доски, если нить отвеса длиной $l$ отклонилась от вертикали на угол $\alpha $? Решение Отметим, что здесь речь идет о вращательном движении с постоянной по модулю скоростью. При этом точка в процессе движения описывает окружность (рис. [fig:9] ). При этом $O_2O_3 = l\sin \alpha $, $O_1O_2=d$. Поэтому радиус описываемой грузиком окружности $$ R = O_1O_3 = O_1O_2 + O_2O_3 = d+l\sin \alpha. $$ Расставим силы, действующие на грузик (рис. [fig:10] ). Отметим, что так как модуль скорости постоянен, тангенциальное ускорение груза равно нулю. Применим второй закон Ньютона: $$ m \vec{g}+\vec{T} = m\cdot \vec{a}_{ц.с.}. $$ Напомним, что для центростремительного (нормального) ускорения справедливо $$ a_n = \frac{v^2}{R}. $$ Проекция на ось $x$: $$ 0+T\sin\alpha = m \frac{v^2}{R}. $$ Проекция на ось $y$: $$ -mg+T\cos \alpha = m\cdot 0. $$ Отсюда получаем $$ \left\{ \begin{array}{lll} T\sin\alpha = \frac{mv^2}{R},\\ T\cos \alpha = mg. \...