семинар 3, сложность 1: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 2

Условие

Машина массой $2$ т движется со скоростью $72 \frac{км}{ч}$ по

выпуклому мосту

вогнутому мосту

радиус кривизны которого $100 м$.

С какой силой (в $kH$) давит машина на мост, проезжая через его середину? $g=10 \frac{м}{c^2}$.

Решение

Если бы автомобиль покоился, то в обоих случаях сила реакции покоя уравновешивала бы силу тяжести, и сила давления на опору была бы равна силе тяжести. Однако, когда автомобиль движется, он проходит закругление радиуса $R$, поэтому сила реакции опоры уже не будет равна силе тяжести.

Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Размерами автомобиля по сравнению с мостом можно пренебречь. Поэтому далее будем применять второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек: $$

\vec{F}_\Sigma = m \vec{a}.

$$ Рассмотрим первый случай – машина движется по выпуклому мосту. В этом случае центр закругления находится ниже опоры (рис. [fig:5]).

5

На автомобиль действуют сила тяжести и сила реакции опоры. Действуя совместно, эти две силы сообщают автомобилю ускорение, направленное к центру закругления (центростремительное ускорение): $$

m \vec{g} + \vec{N}_1 = m \vec{a}_{ц.с.}.

$$ Проекция на нормальную ось: $$

mg - N_1 = m\cdot a_{ц.с.}.

$$ Напомним, что $$

a_{ц.с.} = \frac{v^2}{R} = \frac{\left( 20 \frac{м}{c} \right)^2}{100 м} = 4 \frac{м}{c^2}.

$$ Итак, сила реакции опоры при прохождении выпуклого моста $$

N_1 = m \left( g-a_{ц.с.} \right),

$$ $$

N_1 = 2000 кг \left( 10 \frac{м}{c^2} - 4 \frac{м}{c^2} \right) = 12000 \ H = 12\ kH.

$$ По третьему закону Ньютона, $P_1 = N_1$, поэтому нормальная сила давления равна $$

P_1 = 12\ kH < 20\ kH.

$$ Теперь рассмотрим случай движения по вогнутому мосту. В этом случае центр закругления находится выше точки опоры (рис. [fig:6]). На автомобиль действуют сила тяжести и сила реакции опоры. При этом сила реакции опоры должна превышать значение силы тяжести, чтобы их равнодействующая была направлена вверх.

6

Запишем второй закон Ньютона: $$

m \vec{g} + \vec{N}_2 = m\cdot \vec{a}_{ц.с.}

$$ и спроецируем его на ось $y$: $$

-mg +N_2 = m\cdot a_{ц.с.}.

$$ Отсюда получаем $$

N_2 = m \left( g+a_{ц.с.} \right),

$$ $$

N_2 = 2000 кг \left( 10 \frac{м}{c^2}+4 \frac{м}{c^2} \right) = 2800\ H = 28\ kH.

$$ По третьему закону Ньютона, сила давления равна сила реакции опоры: $P_2=N_2$. Поэтому искомая сила давления $$

P_2 = 28\ kH > 20\ kH.

$$ Ответ: $12\ kH$, $28\ kH$.

Задача 3

Условие

Груз, подвешенный на нити длиной $l=60\ см$, двигаясь равномерно, описывает в горизонтальной плоскости окружность. С какой скоростью $v$ движется груз, если во время его движения нить образует с вертикалью постоянный угол $\alpha =30^o$?

Решение

Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Размерами грузика можно пренебречь по сравнению с длиной нити. Поэтому далее будем применять второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек: $$

\vec{F}_\Sigma = m \vec{a}.

$$ Расставим силы, действующие на груз в процессе такого движения (рис. [fig:7]).

7

Отметим, что центростремительное (нормальное) ускорение направлено к центру поворота (точка $O$). Напомним связь между центростремительным ускорением и скоростью: $a_n = \frac{v^2}{R}$.

Найдем радиус поворота: $$

R = l \cdot \sin\alpha.

$$ Запишем второй закон Ньютона: $$

\vec{T}+m \vec{g} = m \vec{a}_n.

$$ Проекция на ось $x$: $$

T\sin\alpha +0 = m \frac{v^2}{R}.

$$ Проекция на ось $y$: $$

T \cos\alpha - mg = m\cdot 0.

$$ Преобразуем полученные выражения и объединим их в одну систему для совместного решения: $$

\left\{

\begin{array}{lll}

T\sin\alpha = \frac{mv^2}{l\cdot \sin\alpha },\\

T\cos\alpha = mg.

\end{array}\right.

$$ Разделим (почленно) первое уравнение на второе: $$

\frac{\sin\alpha }{\cos\alpha } = \frac{v^2}{gl\sin\alpha }.

$$ Отсюда получаем $$

v^2 = \frac{gl\sin^2\alpha }{\cos\alpha },

$$ $$

v = \sin \alpha \sqrt{\frac{gl}{\cos\alpha }},

$$ $$

v = \sin 30^o \sqrt{\frac{10 \frac{м}{c^2}\cdot 0.6 м}{\cos 30^o}} \approx 1.3 \frac{м}{c}.

$$ Ответ: $1.3 \frac{м}{c}$.

Задача 4

Условие

На доске $BA$ укреплен на вертикальной стойке, отстающей от оси вращения на расстоянии $d$, отвес. Доска равномерно вращается вокруг вертикальной оси $OO'$. Какова частота обращения доски, если нить отвеса длиной $l$ отклонилась от вертикали на угол $\alpha $?

task4

Решение

Отметим, что здесь речь идет о вращательном движении с постоянной по модулю скоростью. При этом точка в процессе движения описывает окружность (рис. [fig:9]).

9

При этом $O_2O_3 = l\sin \alpha $, $O_1O_2=d$. Поэтому радиус описываемой грузиком окружности $$

R = O_1O_3 = O_1O_2 + O_2O_3 = d+l\sin \alpha.

$$ Расставим силы, действующие на грузик (рис. [fig:10]). Отметим, что так как модуль скорости постоянен, тангенциальное ускорение груза равно нулю.

10

Применим второй закон Ньютона: $$

m \vec{g}+\vec{T} = m\cdot \vec{a}_{ц.с.}.

$$ Напомним, что для центростремительного (нормального) ускорения справедливо $$

a_n = \frac{v^2}{R}.

$$ Проекция на ось $x$: $$

0+T\sin\alpha = m \frac{v^2}{R}.

$$ Проекция на ось $y$: $$

-mg+T\cos \alpha = m\cdot 0.

$$ Отсюда получаем $$

\left\{

\begin{array}{lll}

T\sin\alpha = \frac{mv^2}{R},\\

T\cos \alpha = mg.

\end{array}\right.

$$ Разделим почленно первое уравнение на второе: $$

\tg \alpha = \frac{v^2}{gR}.

$$ Отсюда получаем $$

v^2 = gR\tg \alpha,

$$ $$

v = \sqrt{gR\tg\alpha }.

$$ Итак, мы нашли скорость вращения по окружности. Нам же нужно найти частоту вращения точки. Частота – это число оборотов за единицу времени: $\nu = \frac{1}{T}$.

Значит, нам нужно найти период обращения по окружности. Для этого разделим весь путь (длина окружности) на скорость обращения: $$

T = \frac{2\pi R}{v},

$$ $$

T = \frac{2\pi R}{\sqrt{gR\tg \alpha }} = 2\pi \sqrt{\frac{R\ctg \alpha }{g}}.

$$ Отсюда получаем выражение для частоты: $$

\nu = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{R}\tg \alpha } = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g\tg\alpha }{d+l\sin\alpha }}.

$$