семинар 4, сложность 1: Часть 1

Видео

Конспект

Теоретическая справка: Закон всемирного тяготения Ньютона

Все тела у поверхности Земли падают с одинаковым ускорением 9,8 \frac{м}{c^2} . Проведем, вслед за Ньютоном, мысленный эксперимент. Сообщим телу горизонтальную скорость v . При малой скорости тело упадает на Землю по параболической траектории. С увеличением скорости дальность полета возрастет. При достижении некоторой предельной скорости (первая космическая скорость), тело, непрерывно "падая" на Землю, будет огибать ее и не сможет упасть - выйдет на круговую орбиту.

Возникает вопрос: какая сила удерживает Луну на орбите Земли, Землю и планеты на орбите вокруг Солнца? Анализ законов Кеплера привел Ньютона к ответу на этот вопрос - открытию закона всемирного тяготения. Ньютон первым строго доказал, что причина падения тел на Землю, движения Луны вокруг Земли и планет вокруг Солнца едина — это сила тяготения, действующая между любыми телами, обладающими массой.

Как и всем другим телам, Земля должна сообщать Луне ускорение, не зависящее от массы Луны. Оказывается, ускорение Луны в 3600 раз меньше, чем ускорение свободного падения у поверхности Земли. При этом известно, что расстояние от центра Земли до центра Луны приблизительно равно 60 земным радиусам.

Ускорение, которое сообщает телам сила притяжения к Земле, убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до центра Земли: a = \frac{c_1}{r^2}, \vec{F} = m\vec{a},\ \ \ \ \vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}. Так как сила всемирного тяготения сообщает всем телам у поверхности Земли одно и то же ускорение, независимо от их массы, то она должна быть пропорциональна массе того тела, на которое она действует. (Если бы силы не зависели от масс ускоряемых тел, то ускорения были бы не одинаковы, а обратно пропорциональны инертным массам.)

Поскольку, например, Земля действует на Луну с силой, пропорциональной массе Луны, то и Луна, по третьему закону Ньютона, действует на Землю с той же силой, причем эта сила должна быть пропорциональна массе Земли.

Таким образом, сила гравитационного притяжения должна быть пропорциональна произведению масс взаимодействующих тел.

Закон всемирного тяготения: две материальные точки массами m_1 и m_2 притягиваются друг к другу силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния r между ними: F_{гр} = G \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}. Почему же мы не чувствуем силу притяжения тел на Земле? Величина этой силы очень мала, это самое слабое из всех взаимодействий. И, так как масса Земли очень велика по сравнению с массами тел на ее поверхности, то сила притяжения Земли много больше сил притяжения этих тел.

Из формулы закона всемирного тяготения следует, что G = \frac{Fr^2}{m_1 m_2}. G показывает, чему равна сила, с которой притягиваются 2 тела, массы которых равны 1 кг и расстояние между которыми равно 1 м.

Единицы измерения: [G] = \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}.

Гравитационные силы самые универсальные из всех сил, так как все тела обладают массой, они действуют сквозь любые тела и являются дальнодействующими.

Формула закона всемирного тяготения дает только величину силы притяжения точечных тел. На самом деле сила тяготения действует на каждое из взаимодействующих тел. Эти силы равны по величине и противоположны по направлению в соответствии с III законом Ньютона.

14

Силы гравитационного взаимодействия направлены вдоль прямой, соединяющей материальные точки. Такие силы принято называть центральными.

Модули сил взаимодействия между телами одинаковы (по третьему закону Ньютона): \left| \vec{F}_{1,2} \right| = \left| \vec{F}_{2,1} \right|.

Векторная форма закона: сила действующая на тело 2 со стороны тела 1 \vec{F}_{2,1} = G \frac{m_1m_2}{r_{12}^3} \cdot \left( -\vec{r}_{1,2} \right), где \vec{r}_{1,2} – радиус-вектор от тела 1 к телу 2 (рис. [fig:2]).

2 Знак "минус" указывает, что сила \vec{F}_{1, 2} направлена противоположно вектору \vec{r}_{1,2} (тело 2 притягивается к телу 1).

Аналогично, сила действующая на тело 1 со стороны тела 2 (рис. [fig:3]): \vec{F}_{1,2} = G \frac{m_1m_2}{r_{12}^3} \cdot \vec{r}_{12}.

3 Гравитационная постоянная

Гравитационную постоянную невозможно определить теоретически. Для определения G необходим эксперимент, в котором независимо друг от друга будут измеряться силы, массы и расстояния.

Гравитационная постоянная G измерена в 1798 г. Генри Кавендишем с помощью крутильных весов (рис. [fig:15]): G = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{H\cdot м^2}{кг^2}.

15 На упругой нити было подвешено легкое коромысло, на котором были уравновешены два небольших свинцовых шара массой m . К одному из шаров подносили большой свинцовый шар массой M . Гравитационное притяжение между m и M создавало вращающий момент, закручивающий нить. Вращение прекращалось после того, как момент гравитационного взаимодействия уравновешивался моментом силы упругости кручения. Согласно обобщенному закону Гука, сила упругости прямо пропорциональна углу закручивания. Зная угол закручивания, можно определить силу упругости и силу гравитационного взаимодействия между шарами. Угол закручивания измеряли с помощью зеркала, укрепленного на нити крутильных весов.

В своих опытах Кавендиш получил значение G , всего на 1% отличающееся от установленного в настоящее время.

Применение закона к протяженным телам

Описанный выше закон применим для взаимодействия

точечных масс,

однородных шаров (рис. [fig:4]), тогда под расстоянием между телами подразумевается расстояние между их центрами,

4

точечной массы и однородного шара (рис. [fig:5]), тогда расстояние между телами – расстояние между точкой и центром шара,

5

однородных сферических оболочек (рис. [fig:6]), тогда расстояние между телами – расстояние между их центрами.

6

Для тел произвольной формы силу находят, разбивая каждое тело на малые элементы (материальные точки); вычисляют силу между каждой парой элементов по закону всемирного тяготения в векторной форме и суммируя (интегрируя) все эти силы с учетом направлений (рис. [fig:7]).

7 Опыт Кавендиша и определение массы Земли

Опыт Кавендиша по определению значения гравитационной постоянной называют еще опытом по взвешиванию Земли, так как определив значение гравитационной постоянной, мы можем рассчитать массу Земли. Для этого необходимо знать период обращения Луны вокруг Земли и расстояние между центрами Луны и Земли.

Будем считать, что Луна движется по круговой орбите вокруг Земли с постоянной скоростью. Запишем второй закон Ньютона для Луны. На нее действует сила гравитационного притяжения к Земле, под действием которой Луна приобретает центростремительное ускорение: \vec{F} = m\vec{a}_n, где m - масса Луны.

16 Спроецируем это равенство на направление, соединяющее центр Земли и центр Луны: F = ma_n = \frac{mv^2}{r}, где r = 60R_0 - радиус окружности, по которой движется Луна и соответственно это расстояние между центром Земли и центром Луны, R_0 - радиус Земли.

С другой стороны, в соответствии с законом всемирного тяготения, F = G \frac{Mm}{r^2}, где M - масса Земли. Приравняв силы, получаем M = \frac{rv^2}{G} = \frac{60R_0}{G} \left( \frac{2\pi r}{T} \right)^2 = \frac{60R_0}{G} \left( \frac{2\pi 60R_0}{T} \right)^2 = \frac{4\pi^2 (60R_0)^3}{G T^2}.

Значение гравитационной постоянной

Знание гравитационной постоянной позволяет определить массы Земли, Солнца и других источников тяготения по наблюдениям за движением в создаваемых ими гравитационных полях.

Во II-ом законе Ньютона вводилось понятие инертной массы, которая характеризовала способность тела приобретать ускорение под действием силы. В законе всемирного тяготения вводится гравитационная масса, характеризующая способность тел притягивать к себе другие тела. Это два разных свойства материи. Опыт показывает, что они равны. Совпадение инертной и гравитационной масс не имеет под собой физической причины и является случайным. Но это же равенство лежит в основе созданной Эйнштейном релятивистской теории тяготения.

Примеры расчетов

Найдем силу взаимодействия между телом массой m=1 кг и Землей массой M_{з} = 6\cdot 10^{24}кг . Тело находится вблизи поверхности Земли, то есть на расстоянии, близком к R_{з} = 6,4\cdot 10^6 м . F_{гр} = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{H\cdot м^2}{кг^2} \cdot \frac{1 кг \cdot 6\cdot 10^{24}кг}{\left( 6,4\cdot 10^6 м \right)^2} \approx 9,8 \frac{м}{c^2} \cdot 1 кг = 9,8H. Отсюда следует, что ускорение свободного падения одинаково для всех тел у поверхности, так как a = \frac{F_{гр}}{m} = \frac{Gm\cdot M_{з}}{R_{з}^2m}= \frac{G\cdot M_{з}}{R_{з}^2} = g. Вычислим силу гравитационного взаимодействия между Солнцем и Землей. Известно, что масса Солнца – M_c = 2\cdot 10^{30}кг , расстояние между Солнцем и Землей – r = 1.5\cdot 10^{11}м : F_{гр} = 6,67\cdot 10^{-11} \frac{H\cdot м^2}{кг^2} \frac{2\cdot 10^{30}кг \cdot 6\cdot 10^{24}кг}{\left( 1,5\cdot 10^{11} м\right)^2} = 35,6 \cdot 10^{21}H.

Задача 1

Условие

Радиус Луны примерно в 3,7 раза меньше радиуса Земли. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. Во сколько раз выше и дальше может прыгнуть человек на Луне, чем на Земле?

Решение

Начальная скорость одинакова в обоих случаях. Высоты подъема: h = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha }{2g}. Таким образом, максимальная высота достигается при \alpha = 90^o : h_{max} = \frac{v_0^2}{2g}. Значит, сравнение высот сводится к сравнению ускорений свободного падения на поверхностях Земли и Луны: \fontsize{13}{20}\selectfont

\left\{

\begin{array}{lll}

g_{з} = \frac{GM_{з}}{R_{з}^2},\\

g_{л} = \frac{GM_{л}}{R_{л}^2},\\

\end{array}\right. \frac{g_{з}}{g_{л}} = \frac{M_{з}}{M_{л}} \cdot \left( \frac{R_{л}}{R_{з}} \right) ^2 = 81 \cdot \left( \frac{1}{3.7} \right)^2 \approx 6. Отсюда получаем \frac{h_{з}}{h_{л}} = \frac{v_0^2 \cdot 2g_{л}}{2g_{з} \cdot v_0^2} = \frac{1}{6}, то есть h_{л} > h_{з} (при условии, что начальные скорости одинаковы).

Дальность полета определяется начальной скоростью, направлением начальной скорости (угол \alpha ) и ускорением свободного падения: L = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha }{g}. Максимальная дальность достигается в случае \alpha =45^o : L_{max} = \frac{v_0^2}{g}. Тогда \frac{L_{з}}{L_{л}} = \frac{v_0^2}{g_{з}} \cdot \frac{g_{л}}{v_0^2} = \frac{1}{6}, то есть вблизи поверхности дальность полета будет больше на Луне: L_{л} > L_{з} .

Ответ: в 6 раз больше.

Задача 2

Условие

Радиус Солнца в 110 раз больше радиуса Земли, а средняя плотность Солнца в 4 раза меньше средней плотности Земли. Найти ускорение свободного падения у поверхности Солнца.

Решение

Будем считать Землю и Солнце идеальными однородными шарами. Сила гравитационного взаимодействия: F_{гр} = G \frac{Mm}{R^2}. Ускорение свободного падения: g = \frac{GM}{R^2}. Если тело однородно, связь массы и плотности имеет вид M = \rho \cdot V. Объем шара – V = \frac{4}{3}\pi R^3. Итак, ускорение свободного падения можно выразить следующим образом g = \frac{GM}{R^2} = \frac{G \rho \frac{4}{3}\pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G \rho R. Сравним ускорения свободного падения на Солнце и Земле: \frac{g_c}{g_{з}} = \frac{\frac{4}{3}\pi G \rho _c \cdot R_c}{\frac{4}{3}\pi G \rho_{з} \cdot R_{з}} = \frac{\rho _c \cdot R_c}{\rho _{з}\cdot R_{з}}, \frac{g_c}{g_{з}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{110}{1} = 27,5, g_c = 27,5\cdot 9,8 \frac{м}{c^2} \simeq 270 \frac{м}{c^2}. Ответ: 270 \frac{м}{c^2} .

Теоретическая справка: Космические скорости, движение в гравитационном поле Земли

Ньютон показал, что под действием гравитации тело может двигаться по следующим траекториям (рис. [fig:8]):

окружность/эллипс: замкнутые орбиты (планеты, спутники, астероиды, кометы из облака Оорта и др.),

парабола/гипербола: разомкнутые траектории (межзвездные кометы, исседовательские станции и др.).

8 Первая космическая скорость – минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно стало спутником Земли на круговой орбите.

Вывод первой космической скорости: вблизи поверхности Земли на тело действует сила F_{гр} = G \frac{M\cdot m}{r^2}. Равнодействующая сила сообщает телу центростремительное ускорение: F_{гр} = \frac{GM\cdot m}{R_{з}^2} = m \cdot \frac{v^2}{R_{з}}. Отсюда получаем \frac{GM}{R_{з}} = v_{

\textup{\uppercase\expandafter{\romannumeral1}}

}^2, v_{

\textup{\uppercase\expandafter{\romannumeral1}}

} = \sqrt{\frac{GM_{з}}{R_{з}}} = \sqrt{ \frac{GM_{з}R_{з}}{R_{з}^2}} = \sqrt{g_{з} \cdot R_{з}} = \sqrt{9,8 \frac{м}{c^2}\cdot 6,4\cdot 10^6 м} \approx 7,9\cdot 10^3 \frac{м}{c}. Первая космическая скорость – v_{

\textup{\uppercase\expandafter{\romannumeral1}}

} = 7,9 \frac{км}{c} \approx 8 \frac{км}{c}. Если сообщить телу достаточно большую скорость, оно может преодолеть притяжение Земли и стать спутником Солнца на круговой орбите. При увеличении скорости оно может покинуть пределы солнечной системы.

Вторая космическая скорость – минимальная скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно стало спутником Солнца на круговой орбите, преодолев притяжение Земли: v_{

\textup{\uppercase\expandafter{\romannumeral2}}

} = \sqrt{2g_{з}\cdot R_{з}} = \sqrt{2} v_{

\textup{\uppercase\expandafter{\romannumeral1}}

} \simeq 11,2 \frac{км}{c}. Третья космическая скорость – минимальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно покинуло Солнечную систему: v_{

\textup{\uppercase\expandafter{\romannumeral3}}

} \approx 14 \frac{км}{c}.