семинар 4, сложность 1

Задача 3 Условие На какой высоте над Землей движется спутник по геостационарной орбите? Решение Геостационарный спутник постоянно находится над одной точкой земной поверхности. Это возможно когда выполнены два условия: орбита круговая и угловая скорость спутника совпадает с угловой скоростью вращения Земли. Значит, период обращения спутника равен периоду обращения Земли (Т = $24$ ч). Равнодействующая всех сил, действующих на спутник, сообщает этому спутнику ускорение: $$ \vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a}. $$ На спутник действует единственная сила — гравитационная сила притяжения Земли, которая создает центростремительное ускорение: $$ F_{гр} = m\cdot a_{ц.с.}, $$ $$ \frac{G M_{з}\cdot m}{\left( R_{з} + h \right)^2} = m \cdot \frac{v^2}{R_{з}+h}. $$ Здесь $h$ – высота, на которой находится спутник. Упростим выражение: $$ GM_{з} = v^2 \left( R_{з} + h \right), $$ $$ v = \sqrt{\frac{G M_{з}}{R_{з}+h}} = \sqrt{\frac{GM_{з}}{r}}, $$ где $r$ – радиус орбиты. Замечание. В случае $h=0$ получаем выражение для первой космической скорости: $$ v_I\Big|_{h=0} = \sqrt{\frac{GM_{з}}{R_{з}}}. $$ Найдем радиус орбиты. Нам известен период обращения Земли (и, соответственно, спутника): $$ T = \frac{2\pi r}{v},\ \ \ \ T^2 = \frac{4\pi^2 r^2}{v^2}. $$ Теперь у нас есть два выражения для квадрата скорости: $$ v^2 = \frac{GM_{з}}{r}, $$ $$ v^2 = \frac{4\pi^2 r^2}{T^2}. $$ Отсюда получаем уравнение, из которого найдем радиус орбиты: $$ \frac{GM_{з}}{r} = \frac{4\pi^2 r^2}{T^2}. $$ $$ r^3 = \frac{GM_{з}T^2}{4\pi^2}, $$ $$ r = \sqrt[3]{\frac{GM_{з}T^2}{4\pi^2}}, $$ $$ r = 42,4\cdot 10^6 м = 42400 км. $$ Найдем скорость спутника: $$ v = \frac{2\pi r}{T}, $$ $$ v = \frac{2\cdot 3,14\cdot 42,4\cdot 10^6 м}{24\cdot 3600 c} \approx 3\cdot 10^3 \frac{м}{c}. $$ Ответ: $42400 км$, $3 \frac{км}{c}$. Задача 4 Условие Спутник движется вокруг планеты по круговой орбите радиуса $4700$ тыс.км со скоростью $10$ км/с. Какова средняя плотность планеты, если радиус планеты $150$ тыс.км. Решение На спутник действует сила всемирного тяготения, направленная к центру планеты (рис. [fig:9] ). Эта сила, согласно второму закону Ньютона, сообщает спутнику центростремительное ускорение: $$ \vec{F}_\Sigma = m \vec{a}, $$ $$ F_{гр} = m \cdot a_{ц.с.}, $$ $$ \frac{G\cdot M\cdot m}{r^2} = m\cdot \frac{v^2}{r}, $$ $$ GM = rv^2. $$ Будем считать планету однородным шаром: $$ V = \frac{4}{3}\pi R^3. $$ Выразим ее массу через плотность: $$ M = \rho \cdot V = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho. $$ Тогда $$ G \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 \cdot \rho = r\cdot v^2, $$ $$ \rho = \frac{rv^2 \cdot 3}{4\pi GR^3} \approx \frac{4,7 \cdot 10^9 м \cdot \left( 10^4 \frac{м}{c} \right)^2 \cdot 3\cdot кг^2}{4\cdot 3,14\cdot 6,67\cdot 10^{-11}H \cdot м^2 \cdot \left( 1,5\cdot 10^8 м \right)^3}\approx 500 \frac{кг}{м^3}. $$ Ответ: $500 \frac{кг}{м^3}$. Задача 5 Условие Два маленьких шарика массой $m$ каждый находятся на расстоянии $r$ друг от друга и притягиваются друг к другу с силой $8$нН. Каков модуль сил гравитационного притяжения друг к другу двух других шариков, если масса каждого из них равна $2m$, а расстояние между ними равно $\frac{r}{2}$? Решение Применим закон всемирного тяготения: $$ F_{гр} = G \frac{m_1 m_2}{r^2}. $$ Для первого случая: $$ F_1 = G \frac{m \cdot m}{r^2} = G \frac{m^2}{r^2} = 8\,нН. $$ Для второго случая: $$ F_2 = G \frac{(2m) \cdot (2m)}{\left(\dfrac{r}{2}\right)^2} =16 \cdot G \frac{m^2}{r^2}. $$ Подставим величину первой силы и вычислим: $$ F_2 = 16 \cdot F_1 = 16 \cdot 8 нН = 128\,нН. $$ Ответ: $128$ нН. Задача 6 Условие У поверхности Луны на космонавта действует сила тяготения $120H$. Какая сила тяготения действует со стороны Луны на того же космонавта в космическом корабле, движущемся по круговой орбите вокруг Луны на расстоянии двух лунных радиусов от ее центра? Решение Применим второй закон Ньютона (космонавта будем считать материальной точкой): $$ \vec{F}_\Sigma = m \vec{a}, $$ $$ F_{гр} = m \cdot a_{ц.с.}. $$ Сила тяготения на орбите: $$ F_{гр} = G \frac{m M_{л}}{(2R_{Л})^2} = G \frac{m M_{л}}{4R_{л}^2}. $$ Сила тяготения на поверхности Луны: $$ F_0 = G \frac{m M_{л}}{R_{л}^2}. $$ Отношение сил: $$ \frac{F_{гр}}{F_0} = \frac{1}{4}. $$ Вычислим силу: $$ F_{гр} = \frac{F_0}{4} = \frac{120 H}{4} = 30\,Н. $$ Ответ: $30$ Н. Задача 7 Условие Две планеты с одинаковыми массами обращаются по круговым орбитам вокруг звезды. Для первой из них сила притяжения к звезде в $36$ раз меньше, чем для второй. Каково отношение $\frac{R_1}{R_2}$ радиусов орбит первой и второй планет? Решение Применим закон всемирного тяготения: $$ F_{гр} = G \frac{M m}{r^2}. $$ Сила притяжения каждой из планет к звезде: $$ \left\{ \begin{array}{lll} F_1 = G \frac{m_1\cdot M}{R_1^2},\\ F_2 = G \frac{m_2\cdot M}{R_2^2}. \end{array}\right. $$ Отношение сил: $$ \frac{F_1}{F_2} = \frac{G \frac{m_1M}{R_1^2}}{G \frac{m_2M}{R_2^2}} = \frac{R_2^2}{R_1^2} = \frac{1}{36}. $$ Найдем отношение радиусов: $$ \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2 = \frac{1}{36} \implies \frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{6}. $$ Ответ: $6$.