семинар 2, сложность 1: Часть 3
Физика, 9 класс
Задача 5 Условие С бруском, который удерживают на шероховатой наклонной плоскости с углом наклона $\alpha = 30^o$ к горизонту, проводят опыт. Ему сообщают начальную скорость так, что он сначала движет...
Видео
Конспект
Задача 5
Условие
С бруском, который удерживают на шероховатой наклонной плоскости с углом наклона $\alpha = 30^o$ к горизонту, проводят опыт. Ему сообщают начальную скорость так, что он сначала движется вверх по наклонной плоскости, а затем, в $2$ раза дольше, — вниз, и возвращается в исходную точку. Чему равен коэффициент трения бруска о наклонную плоскость? Ускорение свободного падения $g = 10 \frac{м}{c^2}$.
Решение
Будем решать эту задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Брусок движется поступательно, поэтому далее будем применять второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек $$
\vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a}.
$$ Рассмотрим силы, действующие на брусок при движении вверх после сообщения ему скорости $v_0$.
t7
Определим ускорение, с которым движется брусок при подъеме вдоль наклонной плоскости. Ускорение направлено против скорости (скорость уменьшается), равнодействующая сил сообщает телу ускорение $\vec{a}_1$: $$
\vec{F}_{\Sigma 1}= m\cdot \vec{a}_1,
$$ $$
m \vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр.ск.} = m \vec{a}_1.
$$ Спроецируем полученное уравнение на ось $x$: $$
mg \sin\alpha + 0+ F_{тр.ск.} = m\cdot a_1,
$$ где $$
F_{тр.ск.} = \mu \cdot N.
$$ Проекция уравнения на ось $y$ дает $$
-mg \cos\alpha + N = 0.
$$ Отсюда получаем $$
a_1 = g \sin\alpha + \mu g \cos \alpha = g \left( \sin\alpha + \mu \cos \alpha \right).
$$ Теперь рассмотрим соскальзывание бруска вниз по наклонной плоскости.
t8
Воспользуемся вторым законом Ньютона $$
\vec{F}_{\Sigma 2}= m \vec{a}_2,
$$ $$
m \vec{g}+ \vec{N}+ \vec{F}_{тр.ск.2} = m \cdot \vec{a}_2.
$$ Проецируем на ось $x$ : $$
mg \sin \alpha +0-F_{тр.ск.2} = m\cdot a_2,
$$ и на ось $y$: $$
-mg \cos\alpha +N+0=m\cdot 0.
$$ Отсюда получаем $$
mg \sin\alpha - \mu mg \cos\alpha = ma_2,
$$ $$
a_2 = g \left( \sin\alpha - \mu \cos\alpha \right) < a_1.
$$ Перейдём к рассмотрению кинематики движения. При движении вверх по наклонной плоскости движение равноускоренное, причем скорость меняется от некоторого неизвестного начального значения $v_0$ до $0$. Поэтому $$
\Delta x = v_{0x}t + \frac{a_xt^2}{2} = v_xt - \frac{a_xt^2}{2}.
$$ Здесь мы учли, что $v_{0x} = v_x-a_xt$.
Обозначим через $S$ пройденный путь. Тогда $$
-S = - \frac{a_1t_1^2}{2},
$$ $$
S = \frac{a_1t_1^2}{2}.
$$ С другой стороны, при соскальзывании бруска начальная скорость нулевая, поэтому $$
S = \frac{a_2t_2^2}{2}.
$$ По условию задачи рассмотренные пути одинаковы: $$
a_1t_1^2 = a_2t_2^2.
$$ Учтем, что время соскальзывания в два раза больше, чем время подъема на наклонную плоскость: $$
a_1 = 4a_2.
$$ Учтем полученные ранее выражения для ускорений: $$
\sin\alpha + \mu \cos \alpha = 4 \left( \sin\alpha - \mu \cos \alpha \right),
$$ $$
3 \sin \alpha = 5\mu \cos \alpha,
$$ $$
\mu = \frac{3}{5}\tg \alpha,
$$ $$
\mu = \frac{3}{5}\tg 30^o = \frac{3}{5 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{5} \approx 0.346.
$$ Ответ: $0.346$