семинар 2, сложность 1

Задача 5 Условие С бруском, который удерживают на шероховатой наклонной плоскости с углом наклона $\alpha = 30^o$ к горизонту, проводят опыт. Ему сообщают начальную скорость так, что он сначала движется вверх по наклонной плоскости, а затем, в $2$ раза дольше, — вниз, и возвращается в исходную точку. Чему равен коэффициент трения бруска о наклонную плоскость? Ускорение свободного падения $g = 10 \frac{м}{c^2}$. Решение Будем решать эту задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Брусок движется поступательно, поэтому далее будем применять второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек $$ \vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a}. $$ Рассмотрим силы, действующие на брусок при движении вверх после сообщения ему скорости $v_0$. Определим ускорение, с которым движется брусок при подъеме вдоль наклонной плоскости. Ускорение направлено против скорости (скорость уменьшается), равнодействующая сил сообщает телу ускорение $\vec{a}_1$: $$ \vec{F}_{\Sigma 1}= m\cdot \vec{a}_1, $$ $$ m \vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр.ск.} = m \vec{a}_1. $$ Спроецируем полученное уравнение на ось $x$: $$ mg \sin\alpha + 0+ F_{тр.ск.} = m\cdot a_1, $$ где $$ F_{тр.ск.} = \mu \cdot N. $$ Проекция уравнения на ось $y$ дает $$ -mg \cos\alpha + N = 0. $$ Отсюда получаем $$ a_1 = g \sin\alpha + \mu g \cos \alpha = g \left( \sin\alpha + \mu \cos \alpha \right). $$ Теперь рассмотрим соскальзывание бруска вниз по наклонной плоскости. Воспользуемся вторым законом Ньютона $$ \vec{F}_{\Sigma 2}= m \vec{a}_2, $$ $$ m \vec{g}+ \vec{N}+ \vec{F}_{тр.ск.2} = m \cdot \vec{a}_2. $$ Проецируем на ось $x$ : $$ mg \sin \alpha +0-F_{тр.ск.2} = m\cdot a_2, $$ и на ось $y$: $$ -mg \cos\alpha +N+0=m\cdot 0. $$ Отсюда получаем $$ mg \sin\alpha - \mu mg \cos\alpha = ma_2, $$ $$ a_2 = g \left( \sin\alpha - \mu \cos\alpha \right) Обозначим через $S$ пройденный путь. Тогда $$ -S = - \frac{a_1t_1^2}{2}, $$ $$ S = \frac{a_1t_1^2}{2}. $$ С другой стороны, при соскальзывании бруска начальная скорость нулевая, поэтому $$ S = \frac{a_2t_2^2}{2}. $$ По условию задачи рассмотренные пути одинаковы: $$ a_1t_1^2 = a_2t_2^2. $$ Учтем, что время соскальзывания в два раза больше, чем время подъема на наклонную плоскость: $$ a_1 = 4a_2. $$ Учтем полученные ранее выражения для ускорений: $$ \sin\alpha + \mu \cos \alpha = 4 \left( \sin\alpha - \mu \cos \alpha \right), $$ $$ 3 \sin \alpha = 5\mu \cos \alpha, $$ $$ \mu = \frac{3}{5}\tg \alpha, $$ $$ \mu = \frac{3}{5}\tg 30^o = \frac{3}{5 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{5} \approx 0.346. $$ Ответ: $0.346$