семинар 2, сложность 1

Задача 3 Условие Тело массой $M$ прижимают к потолку силой $\vec{F}$, направленной под углом $\alpha $ к горизонту. При этом тело неподвижно. Чему равен коэффициент трения между телом и потолком? Решение Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Применим первое условие равновесия: $$\vec{F}_\Sigma = \vec{0}. $$ Расставим силы, действующие на брусок. На него действуют сила тяжести, сила реакции опоры (сонаправленная с силой тяжести), прижимающая сила $\vec{F}$ и сила трения покоя. Сила трения покоя не превышает своего максимального значения, равного силе трения скольжения: $$ F_{тр.п.}\leqslant \mu N. $$ Запишем условие равновесия: $$ m \vec{g}+\vec{N}+\vec{F}+\vec{F}_{тр.п}=\vec{0}. $$ Спроецируем векторы на ось $x$: $$ 0+0-F\cos \alpha +F_{тр.п.} = 0 $$ и ось $y$: $$ mg + N -F\sin \alpha +0=0. $$ Из первого выражения получаем выражение для силы трения покоя: $$ F \cos \alpha =F_{тр.п.}. $$ Из второго выражения получаем выражение для силы реакции опоры: $$ N = F\sin \alpha -mg. $$ Сравним полученное выражение для силы трения покоя из условия равновесия с максимальной величиной силы трения покоя: $$ F\cos \alpha \frac{F\cos\alpha }{F\sin \alpha -mg}. $$ Заметим, что это выражение имеет смысл только при выполнении условия: $$ F\sin \alpha > mg. $$ Если $F\sin\alpha Ответ: $\mu > \frac{F\cos \alpha }{F\sin \alpha -mg}$ при условии $mg Задача 4 Условие Два бруска массами $m_1$ и $m_2$ соединены лёгкой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок. Один из брусков покоится на наклонной плоскости с коэффициентом трения $\mu =0,1$. С каким ускорением движутся грузы и какова сила натяжения нити, если высота наклонной плоскости $h=60$ см, длина склона $S=1$ м. Решение Найдём угол $\alpha $, который наклонная плоскость составляет с горизонтом. Зная геометрические размеры наклонной плоскости, найдём тригонометрические функции угла $\alpha $: $$ \sin \alpha = \frac{h}{S} = \frac{0,6 м}{1м}=0,6; $$ $$ \cos\alpha = \sqrt{1-\sin^2\alpha } =0,8; $$ $$ \tg \alpha = 0,75. $$ Перейдем к решению основной задачи. Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Применим второй закон Ньютона, сформулированный для материалых точек, так как бруски движутся поступательно: $$ \vec{F}_{\Sigma } = m\cdot \vec{a}. $$ Расставим силы, действующие на каждый из брусков. На первый брусок действуют сила тяжести и сила натяжения нити. На второй брусок действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила натяжения нити и сила трения. Так как нить невесома, а блок – идеальный (блок невесомый, трения в оси блока нет), натяжение нити одинаково по всей длине нити: $$ \left| \vec{T}_1 \right| = \left| \vec{T}_2 \right| = T. $$ Направление силы трения зависит от того, как движутся бруски. Возможны следующие ситуации: Если первый брусок достаточно тяжелый, он будет будет двигаться вертикально вниз, а второй брусок будет соскальзывать вверх по наклонной плоскости. Возникающая в этом случае сила трения является силой трения скольжения (она направлена против относительного движения). Если первый брусок недостаточно тяжел, то возможна ситуация, в которой второй брусок будет находиться в покое, но на грани проскальзывания вверх. На второй брусок будет действовать сила трения покоя вдоль склона вниз. Если второй брусок достаточно тяжел, то он может соскальзывать по наклонной плоскости вниз, а первый брусок будет двигаться вертикально вверх. Тогда на второй брусок будет действовать сила трения скольжения, направленная против его движения относительно плоскости, то есть вдоль склона вверх. Если второй брусок недостаточно тяжёл, чтобы начать движение, он будет находиться на грани проскальзывания вниз, на него будет действовать сила трения покоя, направленная вдоль склона вверх. В покое также будет находиться и первый брусок. Возможна ситуация, в которой сила трения покоя равна нулю, а остальные силы уравновешивают друг друга (оба бруска находится в равновесии). Для сухого трения для силы трения справедливо $$ F_{тр} = \left[ \begin{array}{lll} F_{тр.п.} Относительный покой: $$ \left| \vec{a}_1 \right| = \left| \vec{a}_2 \right| = 0,\ \ \vec{v}_1=\vec{v}_2 = \vec{0}. $$ Введем оси $x$ и $y$ и запишем условие равновесия для каждого из брусков: $$ T_1=m_1g, $$ $$ m_2g \sin\alpha -T_2+F_{тр.п.x} = 0. $$ Здесь $F_{тр.п.x}$ – проекция силы трения покоя на ось $x$, которая в зависимости от соотношения масс может быть как положительной, так и отрицательной. Отсюда получаем выражение для проекции силы трения покоя: $$ F_{тр.п.x} = m_1g-m_2g\sin\alpha. $$ Предельное значение силы трения покоя связано с силой реакции опоры. Найдем выражение для силы реакции опоры, спроецировав силы, действующие на второе тело на ось $y$: $$ N = m_2g\cos \alpha. $$ Таким образом получаем оценку для силы трения покоя: $$ \left| \vec{F}_{тр.п.} \right| Скольжение второго бруска вверх по наклонной плоскости: $$ \left| \vec{a}_1 \right| = \left| \vec{a}_2 \right| \neq 0,\ \ \frac{m_1}{m_2}\geqslant 0,68. $$ Эти условия эквиваленты ситуации, в кот...