семинар 5, сложность 1: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 2

Условие

Водонепроницаемая коробка массой $0,2$ кг привязана ниткой ко дну сосуда с водой. На коробку действует сила Архимеда, равная $10$ Н. Определите силу натяжения нити.

Решение

Расставим силы, действующие на тело.

15

Куб покоится, поэтому геометрическая сумма всех сил равна нулю: $$

\vec{F}_\Sigma = \vec{0},

$$ $$

\vec{F}_T+\vec{T}+\vec{F}_{арх} = \vec{0}.

$$ В проекции на вертикальную ось: $$

F_{арх} = F_T+T,

$$ $$

T = F_{арх} -F_T = F_{арх} - mg,

$$ $$

T = 10H - 0,2 кг \cdot 10 \frac{м}{c^2} = 8H.

$$ Ответ: $8H$.

Задача 3

Условие

В первом опыте на поверхности воды плавает деревянный брусок, частично погруженный в жидкость. Во втором опыте брусок заменили на другой – той же плотности и массы, но большей высоты.

Как изменяется сила Архимеда, действующая на брусок, и масса вытесненной воды при переходе от первого опыта ко второму?

Решение

Запишем условие равновесия: $$

F_{арх} = F_T,

$$ $$

\rho _{ж}\cdot g\cdot V_{п.ч.} = m\cdot g.

$$

16

Так как $m$ и $g$ неизменны, сила Архимеда не изменилась: $$

F_{арх} = \rho _{ж} \cdot g\cdot V_{п.ч.}.

$$ так как $m,\rho _{ж}$ неизменны, масса вытесненной жидкости не изменилась.

Ответ: масса вытесненной воды не изменилась, сила Архимеда не изменилась.

Задача 4

Условие

В воздухе на нитях висят два шара. Сила натяжения верхней нити на $40%$ больше силы натяжения нижней нити. Когда оба шара полностью погрузили в воду, то сила натяжения верхней нити уменьшилась в $7$ раз, а нижней – на $20%$, причем взаимное положение шаров не изменилось. Найдите плотность верхнего шара, если плотность воды составляет $\rho = 1 \frac{г}{см^3}$.

Решение

Рассмотрим систему шаров, соединенных нитью, в воздухе.

17

Применим условие равновесия для нижнего шара: $$

\vec{F}_\Sigma = \vec{0}

$$ $$

m_2 \vec{g} + \vec{T}_2 = \vec{0}.

$$ В проекции на вертикальную ось получим: $$

m_2g = T_2.

$$ Чтобы получить выражение для натяжения верхней нити, рассмотрим тела как одну систему массой $m_1+m_2$ и применим условие равновесия: $$

\left( m_1+m_2 \right) \vec{g} + \vec{T}_1 = \vec{0},

$$ $$

\left( m_1+m_2 \right) g = T_1.

$$ Введем обозначение: $$

T_2=T.

$$ Тогда по условию задачи $$

T_1=1,4T.

$$ Таким образом, $$

m_2g = T,

$$ $$

\left( m_1+m_2 \right) g = 1,4T.

$$ Отсюда получаем $$

m_1g = 0,4T.

$$ Рассмотрим систему шаров, погруженных в жидкость.

18

Применим условие равновесия: $$

m_2 \vec{g} + \vec{T}_2^* + \vec{F}_{a,2} = \vec{0},

$$ $$

m_1 \vec{g} + \vec{T}_2^* + \vec{F}_{a.1} + \vec{T}_1^* = \vec{0}.

$$ Воспользуемся формулой для силы Архимеда: $$

F_{арх} = \rho \cdot g\cdot V_{п.ч.}

$$ и найдем силу Архимеда для каждого тела: $$

F_{арх1} = \rho g V_1 = \rho g \frac{m_1}{\rho_1},

$$ $$

F_{арх2} = \rho g \frac{m_2}{\rho_2}.

$$ Условия равновесия в проекции на вертикальную ось: $$

\left\{

\begin{array}{lll}

F_{a.2} + T_2^* = m_2g,\\

F_{a.1} + T_1^* = m_1g + T_2^*.

\end{array}\right.

$$ По условию задачи, $$

T_1^* = \frac{T_1}{7} = \frac{1,4T}{7} = 0,2T,

$$ $$

T_2^* = 0,8\cdot T_2 = 0,8 T.

$$ Система преобразуется к виду: $$

\left\{

\begin{array}{lll}

\rho g \frac{m_2}{\rho_2} + 0,8T = m_2g,\\

\rho g \frac{m_1}{\rho_1} + 0,2T = m_1g + 0,8T.

\end{array}\right.

$$ Учтем полученные ранее выражения: $$

\left\{

\begin{array}{lll}

m_2g = T,\\

m_1g = 0,4T

\end{array}\right.

$$ и упростим уравнения системы: $$

\left\{

\begin{array}{lll}

\rho g \frac{m_2}{\rho_2} + 0,8T = T,\\

\rho g \frac{m_1}{\rho_1} = T,

\end{array}\right.

$$ $$

\left\{

\begin{array}{lll}

\rho g \frac{m_2}{\rho_2} = 0,2T,\\

\rho g \frac{m_1}{\rho_1} = T.

\end{array}\right.

$$ Отсюда, в частности, получаем $$

\frac{V_1}{V_2} = 5.

$$ Используем второе уравнение и полученное ранее $m_1g=0,4T$: $$

m_1g = 0,4 \cdot \rho g \frac{m_1}{\rho_1},

$$ $$

\frac{0.4\rho }{\rho_1} = 1,

$$ $$

\rho_1 = 0,4\rho,

$$ $$

\rho_1 = 0,4 \cdot 1 \frac{г}{см^3} = 0,4 \frac{г}{см^3}.

$$ Ответ: $0,4 \frac{г}{см^3}$.