семинар 5, сложность 1

Задача 2 Условие Водонепроницаемая коробка массой $0,2$ кг привязана ниткой ко дну сосуда с водой. На коробку действует сила Архимеда, равная $10$ Н. Определите силу натяжения нити. Решение Расставим силы, действующие на тело. Куб покоится, поэтому геометрическая сумма всех сил равна нулю: $$ \vec{F}_\Sigma = \vec{0}, $$ $$ \vec{F}_T+\vec{T}+\vec{F}_{арх} = \vec{0}. $$ В проекции на вертикальную ось: $$ F_{арх} = F_T+T, $$ $$ T = F_{арх} -F_T = F_{арх} - mg, $$ $$ T = 10H - 0,2 кг \cdot 10 \frac{м}{c^2} = 8H. $$ Ответ: $8H$. Задача 3 Условие В первом опыте на поверхности воды плавает деревянный брусок, частично погруженный в жидкость. Во втором опыте брусок заменили на другой – той же плотности и массы, но большей высоты. Как изменяется сила Архимеда, действующая на брусок, и масса вытесненной воды при переходе от первого опыта ко второму? Решение Запишем условие равновесия: $$ F_{арх} = F_T, $$ $$ \rho _{ж}\cdot g\cdot V_{п.ч.} = m\cdot g. $$ Так как $m$ и $g$ неизменны, сила Архимеда не изменилась: $$ F_{арх} = \rho _{ж} \cdot g\cdot V_{п.ч.}. $$ так как $m,\rho _{ж}$ неизменны, масса вытесненной жидкости не изменилась. Ответ: масса вытесненной воды не изменилась, сила Архимеда не изменилась. Задача 4 Условие В воздухе на нитях висят два шара. Сила натяжения верхней нити на $40%$ больше силы натяжения нижней нити. Когда оба шара полностью погрузили в воду, то сила натяжения верхней нити уменьшилась в $7$ раз, а нижней – на $20%$, причем взаимное положение шаров не изменилось. Найдите плотность верхнего шара, если плотность воды составляет $\rho = 1 \frac{г}{см^3}$. Решение Рассмотрим систему шаров, соединенных нитью, в воздухе. Применим условие равновесия для нижнего шара: $$ \vec{F}_\Sigma = \vec{0} $$ $$ m_2 \vec{g} + \vec{T}_2 = \vec{0}. $$ В проекции на вертикальную ось получим: $$ m_2g = T_2. $$ Чтобы получить выражение для натяжения верхней нити, рассмотрим тела как одну систему массой $m_1+m_2$ и применим условие равновесия: $$ \left( m_1+m_2 \right) \vec{g} + \vec{T}_1 = \vec{0}, $$ $$ \left( m_1+m_2 \right) g = T_1. $$ Введем обозначение: $$ T_2=T. $$ Тогда по условию задачи $$ T_1=1,4T. $$ Таким образом, $$ m_2g = T, $$ $$ \left( m_1+m_2 \right) g = 1,4T. $$ Отсюда получаем $$ m_1g = 0,4T. $$ Рассмотрим систему шаров, погруженных в жидкость. Применим условие равновесия: $$ m_2 \vec{g} + \vec{T}_2^* + \vec{F}_{a,2} = \vec{0}, $$ $$ m_1 \vec{g} + \vec{T}_2^* + \vec{F}_{a.1} + \vec{T}_1^* = \vec{0}. $$ Воспользуемся формулой для силы Архимеда: $$ F_{арх} = \rho \cdot g\cdot V_{п.ч.} $$ и найдем силу Архимеда для каждого тела: $$ F_{арх1} = \rho g V_1 = \rho g \frac{m_1}{\rho_1}, $$ $$ F_{арх2} = \rho g \frac{m_2}{\rho_2}. $$ Условия равновесия в проекции на вертикальную ось: $$ \left\{ \begin{array}{lll} F_{a.2} + T_2^* = m_2g,\\ F_{a.1} + T_1^* = m_1g + T_2^*. \end{array}\right. $$ По условию задачи, $$ T_1^* = \frac{T_1}{7} = \frac{1,4T}{7} = 0,2T, $$ $$ T_2^* = 0,8\cdot T_2 = 0,8 T. $$ Система преобразуется к виду: $$ \left\{ \begin{array}{lll} \rho g \frac{m_2}{\rho_2} + 0,8T = m_2g,\\ \rho g \frac{m_1}{\rho_1} + 0,2T = m_1g + 0,8T. \end{array}\right. $$ Учтем полученные ранее выражения: $$ \left\{ \begin{array}{lll} m_2g = T,\\ m_1g = 0,4T \end{array}\right. $$ и упростим уравнения системы: $$ \left\{ \begin{array}{lll} \rho g \frac{m_2}{\rho_2} + 0,8T = T,\\ \rho g \frac{m_1}{\rho_1} = T, \end{array}\right. $$ $$ \left\{ \begin{array}{lll} \rho g \frac{m_2}{\rho_2} = 0,2T,\\ \rho g \frac{m_1}{\rho_1} = T. \end{array}\right. $$ Отсюда, в частности, получаем $$ \frac{V_1}{V_2} = 5. $$ Используем второе уравнение и полученное ранее $m_1g=0,4T$: $$ m_1g = 0,4 \cdot \rho g \frac{m_1}{\rho_1}, $$ $$ \frac{0.4\rho }{\rho_1} = 1, $$ $$ \rho_1 = 0,4\rho, $$ $$ \rho_1 = 0,4 \cdot 1 \frac{г}{см^3} = 0,4 \frac{г}{см^3}. $$ Ответ: $0,4 \frac{г}{см^3}$.