Связь кинематики и динамики.: Часть 2

Задача 9.

Условие

1. Ракета стартует с обрыва и движется горизонтально с постоянным ускорением a . Под каким углом к горизонту направлена реактивная струя?

2. Ракета массы m поднимается прямолинейно с ускорением a под углом \alpha к горизонту. Определить силу тяги двигателей ракеты.

Решение.

Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Ракету будем считать материальной точкой, поэтому применим второй закон Ньютона

\vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a}.

Рассмотрим первый случай.

image.png Сила реактивной тяги \vec{F}_p направлена таким образом, чтобы геометрическая сумма \vec{F}_p и силы тяжести равно m \vec{a} :

\vec{F}_p +m \vec{g} = m \vec{a}.

Найдем модуль вектора реактивной силы тяги из векторного треугольника сил:

\left| \vec{F}_p \right| = \sqrt{\left( mg \right) ^2+\left( ma \right) ^2} = m \sqrt{g^2+a^2}.

Выясним направление реактивной силы тяги. Найдем угол \beta , который сила \vec{F}_p составляет с горизонтом:

\tg \beta = \frac{mg}{ma} = \frac{g}{a}.

Рассмотрим второй случай: ускорение \vec{a} направлено под углом \alpha к горизонту. Аналогично предыдущему случаю, ускорение сонаправлено равнодействующей сил реактивной тяги и силы тяжести, то есть равнодействующая сила направлена под углом \alpha к горизонту.

image.png

Найдем модуль силы реактивной тяги из векторного треугольника сил:

\left| \vec{F}_p \right| = \sqrt{\left( mg \right) ^2 + \left( ma \right) ^2 + 2\cdot mg\cdot ma\cdot \cos \left( 90^o+\alpha \right)} = m \sqrt{g^2+a^2-2ga \cdot \sin\alpha }.

Определим угол \beta , который составляет \vec{F}_p с горизонтом.

Воспользуемся теоремой синусов:

\frac{\sin \left( 90^o-\beta \right)}{ma} = \frac{\sin\left( 90^o+\alpha \right)}{F_p},

\frac{\cos \beta }{ma} = \frac{\cos \alpha }{m \sqrt{g^2+a^2-2ga \cdot \sin\alpha }},

\cos \beta = \cos\alpha \cdot \frac{a}{\sqrt{g^2+a^2-2ga \sin\alpha }}.

Задача 10.

Условие

Определить силу давления пассажиров на пол кабины лифта, если их масса 150 кг:

1. при спуске с ускорением 0,6\ \frac{\text{м}}{c^2} ;

2. при подъеме с тем же ускорением;

3. при равномерном движении.

Решение.

Тела движутся поступательно, поэтому мы можем применить второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек:

\vec{F}_\Sigma = m \vec{a}.

Будем решать эту задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с землей.

Сначала рассмотрим первый случай -- лифт опускается с ускорением 0,6\ \frac{\text{м}}{c^2} . Схематично изобразим систему на рисунке.

image.png Применим второй закон Ньютона:

m \vec{g} + \vec{N} = m \vec{a}.

Проекция векторов на ось y будет иметь вид

-mg +N = m \left( -a \right).

Выразим силу реакции опоры:

N = mg-ma = m \left( g-a \right).

По третьему закону Ньютона,

N=P_1.

Таким образом,

P_1 = m \left( g-a \right),

P_1 = 150\ \text{кг} \cdot \left( 10 \frac{\text{м}}{c^2} - 0,6 \frac{\text{м}}{c^2} \right) = 150\ \text{кг} \cdot 9,4 \frac{\text{м}}{c^2} = 1410\ H<1500\ H.

Рассмотрим второй случай -- лифт поднимается с ускорением 0,6 \frac{\text{м}}{c^2} . В этом случае ускорение направлено вверх.

image.png Применим второй закон Ньютона:

m \vec{g} + \vec{N}_2 = m \vec{a}.

Проекция на ось y :

-mg + N_2 = ma.

Отсюда получаем

N_2 = mg+ma=m \left( g+a \right).

По третьему закону Ньютона

N_2 = P_2.

Таким образом,

P_2 = m \left( g+a \right),

P_2 = 150\ \text{кг} \cdot \left( 10 \frac{\text{м}}{c^2} + 0,6 \frac{\text{м}}{c^2} \right) = 150 \text{кг} \cdot 10,6 \frac{\text{м}}{c^2} = 1590\ H > 1500\ H.

Рассмотрим третий случай -- кабина лифта движется равномерно. В этом случае неважно, в каком направлении движется лифт, так как ускорение равно нулю: \vec{a}=\vec{0} .

image.png Применим второй закон Ньютона:

m \vec{g}+\vec{N}_3 = \vec{0}.

Отсюда получаем

N_3 = mg

Р_3 = 150\ \text{кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{c^2} = 1500\ H.

Ответ: P_1 = 1410\ H , P_2 = 1590\ H , P_3 = 1500\ H .