Закон всемирного тяготения. Сила упругости, закон Гука. Сила трения, закона Амонтона-Кулона.: Часть 2

Сила упругости.

Мы знаем, что если растянуть пружину и отпустить ее, то она вернется в исходное состояние. Если сжать ее, то произойдет то же самое. Возвращает тело в исходное состояние сила, которая называется силой упругости.

Сила упругости – это сила, возникающая в упруго деформированном теле и стремящаяся вернуть телу исходную форму.

В отличие от сил трения скольжения, силы упругости:

определяются только взаимным расположением тел,

возникают исключительно при деформации.

Отметим, что когда речь идет о пружинах, есть только два вида деформаций – деформация сжатия и деформация растяжения. При растяжении сила упругости, действующая на тело, вызвавшее деформацию, направлена вдоль пружины и направлена к точке крепления. При сжатии сила упругости направлена вдоль пружины от точки крепления.

image.png image.png

Природа силы упругости

Почему же возникает сила, стремящаяся вернуть тело в его исходное состояние? Для этого необходимо вспомнить строение твердых тел. При любой деформации разные части тела начинают двигаться друг относительно друга с различными скоростями и ускорениями. При этом меняется расстояние между атомами и молекулами. Следовательно, изменение расстояния между узлами кристаллической решетки ведет к изменению взаимодействия атомов (или молекул). Например, при сжатии расстояние между узлами уменьшается, при этом между атомами возникает сила отталкивания, которая старается их вернуть на прежнее расстояние. Поскольку атомов в твердых телах очень много, сила, возникающая в результате такого взаимодействия молекул, будет существенной для макротел.

Поскольку взаимодействие атомов и молекул носит электромагнитных характер (гравитационное взаимодействие очень мало), то и сила упругости относится к электромагнитным взаимодействиям.

Природа силы упругости заключается во взаимном притяжении и отталкивании молекул и упорядоченном расположении молекул в твердом теле.

Деформация и ее типы

Деформация – изменение формы и (или) объема тела.

Почему тела деформируются? Если к какой-либо части тела приложить силу, то некоторое время различные части тела будут двигаться с разным ускорением. Это и приводит к возникновению деформации.

Для твердых тел различают два предельных случая деформаций – упругие и неупругие деформации.

Упругая деформация — деформация, полностью исчезающая после прекращения внешнего воздействия.

Характеристики упругих деформаций:

однозначная связь между силой, вызывающей деформацию и величиной деформации;

малые изменения формы/объёма тела (при больших изменениях возможно разрушение кристаллической решетки твердого тела);

обратимость.

Деформации тела возникают в том случае, когда различные части тела совершают различные перемещения. Основная причина этого процесса заключается в том, что внешняя сила сообщает ускорение не всем элементам тела одновременно, а той лишь его части, на которую эта сила действует.

Рассмотрим деформацию растяжения горизонтального стержня. Подействуем на стержень двумя одинаковыми силами F_1,F_2 так, как показано на рисунке.

image.png Стержень будет растягиваться. Мысленно разобьем стержень на одинаковые участки. На первый участок действует внешняя сила F_1 и сила упругости со стороны второго участка F_{21} . В первый момент внешняя сила больше, поэтому первый участок приобретет ускорение относительно второго. Аналогично можно рассмотреть второй, третий и другие участки. Растяжение будет происходить до тех пор, пока во всех сечениях не будут действовать силы упругости, равные по величине внешним силам.

Замечание

Следует отметить, что при этом сила натяжения стержня будет равна величине внешней силы F .

Деформация в первую очередь возникает в тех частях тела, где прикладывается внешняя сила.

Деформации в твердых телах очень малы, поэтому их наблюдение затруднительно. Будем рассматривать деформации сжатия и растяжения пружины, которую можно считать аналогом цилиндрического твердого тела. Но деформации пружины достаточно велики и поэтому удобны для изучения.

Закон Гука

Роберт Гук изучал зависимость величины абсолютного удлинения от силы, вызывающей деформацию тела. Пусть в недеформированным состоянии указатель, закрепленный на пружине, находится в точке с координатой x=0 .

image.png Подвесим на пружину груз массой m . Пружина деформируется и указатель перемещается в точку с координатой x_1 . Тогда величина абсолютной деформации будет определяться текущей координатой курсора.

Так как пружина перестала деформироваться, F_{упр1} = mg. Подвесим на пружину второй такой же груз. Опыт покажет, что пружина переместится в точку с координатой x_2=2x_1 . При этом аналогичное равенство сил будет выглядеть следующим образом F_{упр2} = 2mg. При в два раза большей деформации сила упругости в пружине стала в два раза больше.

Если после этого грузики убирать, то пружина вернется в недеформированное состояние, то есть деформация в эксперименте была упругой.

Закон Гука: сила упругости, возникающая в упруго деформированной пружине, прямо пропорциональна абсолютной деформации этой пружины: \left| \vec{F}_{упр} \right| = k\cdot \left| \Delta l \right|. Коэффициент пропорциональности k называется коэффициентом жесткости (жесткостью) пружины и характеризует "сопротивляемость" пружины деформации. Он показывает, какая сила нужна для растяжения/сжатия пружины на 1 метр, в системе СИ единица измерения жесткости пружины \left[ k \right] = 1 \frac{H}{м}. Абсолютная деформация равна разности длины пружины в деформированном состояни и начальной (недеформированной) длины пружины: \Delta l = l-l_0. Если \Delta l>0 , то пружина растянута, если \Delta l<0 – пружина сжата.

image.png

Сила упругости направлена в сторону, противоположную абсолютному удлинению тела.

Последовательное соединение пружин

Пусть пружины соединены друг за другом одна вслед за другой (конец первой прикреплен к началу второй). Такое соединение пружин называется последовательным. Обозначим длины первой и второй пружин в недеформированном состоянии l_{01} и l_{02} соответственно, коэффициенты жесткости пружин – k_1 и k_2 соответственно.

image.png Приложим к свободному концу второй пружину силу F и найдем эквивалентную жесткость (жёсткость одной пружины, которая заменяет соединение пружин). Точка соединения пружин находится в равновесии, значит силы упругости в точке соединения пружин равны: F = F_{y2} = F_{y 1},\ \ \ \ F=k\cdot \Delta l. Удлинения пружин: \Delta l_1 = l_1-l_{01}, \Delta l_2 = l_2-l_{02}. Для эквивалентной пружины: l=l_1+l_2;\ \ \ \ l_0=l_{01}+l_{02}. Абсолютная деформация: \Delta l = l-l_0 = \left( l_1+l_2 \right) - \left( l_{01}+l_{02} \right) = \left( l_1-l_{01} \right) + \left( l_2-l_{02} \right) = \Delta l_1+\Delta l_2. Воспользуемся законом Гука и учтем равенство сил: k_1\cdot \Delta l_1 = k_1\cdot \Delta l_2 = k\cdot \Delta l = k \left( \Delta l_1+\Delta l_2 \right) . Отсюда получаем \left.

\begin{array}{lll}

\Delta l_1 = \frac{F_1}{k_1},\\

\Delta l_2 = \frac{F_2}{k_2},

\end{array}\right. \Delta l = \frac{F}{k} = \frac{F_1}{k_1} + \frac{F_2}{k_2}. Так как числители одинаковы, получаем \frac{1}{k} = \frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2} – закон последовательного соединения пружин.

Параллельное соединение пружин

Рассмотрим систему, в которой пружины соединены параллельно, их концы прикреплены к одной паре точек, например, на общем стержне или пластине.

image.png Поскольку концы пружин скреплены друг с другом и длины пружин в недеформированном состоянии одинаковы, при приложении внешней силы F все пружины деформируются на одну и ту же величину \Delta l \Delta l_1 = l_1-l_{01}, \Delta l_2 = l_2-l_{02} \Delta l_1=\Delta l_2. Внешняя сила F распределяется между пружинами. Сумма сил упругости во всех пружинах равна внешней силе: F = F_{y 1} + F_{y 2}. Найдем эквивалентную жесткость системы, то есть жесткость такой пружины (начальной длины l_0 ), которая после удлинения на \Delta l будет действовать с такой же силой, что и две пружины вместе взятые.

image.png Итак, F_{yпр} = F = F_{y 1} + F_{y 2}. Абсолютное удлинение эквивалентной пружины: \Delta l = l-l_0 = \Delta l_1=\Delta l_2. Применим закон Гука: k\cdot \Delta l = k_1\cdot \Delta l_1 + k_2\cdot \Delta l_2. Учтем равенство абсолютных удлинений пружин и получим k = k_1+k_2. – закон параллельного соединения пружин.

Замечание. Полученная формула справедлива только если начальные длины всех пружин одинаковы. Если начальные длины разные, деформации под действием внешней силы будут разными (хотя закон Гука для каждой пружины по-прежнему выполняется), и простого суммирования жесткостей не получится.

Графики зависимости силы упругости от параметров пружины

Рассмотрим пружину с жесткостью k и начальной длиной l_0 . Пружину один раз сжимают, а другой раз – растягивают.

image.png Построим график зависимости силы упругости от величины абсолютной деформации – сила упругости прямо пропорциональна |\Delta l| (по закону Гука).

image.png Отметим, что такая зависимость верна только в области упругих деформаций (для относительно небольших деформаций).

Построим график зависимости силы упругости от абсолютной деформации \Delta l .

image.png Прямая с отрицательным наклоном, проходящая через (0,0), отражает векторный характер закона Гука (сила упругости всегда направлена противоположно смещению конца пружины из положения, соответствующего недеформированному состоянию).

График зависимости силы упругости от длины пружины l получается из предыдущего смещением на l_0 .

image.png