Термодинамика

Задача 9

Условие

В горизонтальном цилиндре с гладкими стенками под массивным поршнем с площадью S находится одноатомный идеальный газ. Поршень соединен с основанием цилиндра пружиной. В начальном состоянии расстояние между поршнем и основанием цилиндра равно L , а давление газа в цилиндре равно внешнему атмосферному давлению p_{0} (см. рисунок). Затем газу было передано количество теплоты Q , и в результате поршень медленно переместился вправо на расстояние b . Чему равна жесткость пружины k ?

Решение

48 1. Систему отсчёта, связанную с Землей, будем считать инерциальной. В процессе медленного движения поршня его ускорение считаем ничтожно малым. Поэтому сумма приложенных к поршню сил при его движении равна нулю. В проекциях на горизонтальную ось x получаем: F_{1}-F_{0}-F_{y \text { mp }}=0, где F_{0} - сила давления атмосферы на поршень, F_{1} - снла давления газа в цилиндре на поршень, F_{\text {упр }} - упругая сила, действующая на поршень со стороны пружины.

49 2. Из равенства давлений слева и справа от поршня в начальном состоянии и гладкости стенок следует, что в начальном состоянии пружина недеформирована. Поэтому при смещении поршня вправо от начального положения на величину x модуль упругой силы F_{\text {yпр}}=k x . Тогда F_{1}=p(x) S=F_{0}+F_{y m p}=p_{0} S+k x, и давление в цилиндре прн смещении поршня вправо от начального положения на величину x определяется по формуле p(x)=p_{0}+\frac{k x}{S} (рис. 2).

3. Используем модель одноатомного ндеального газа \left\{\begin{array}{l}p V= \nu R T, \\ U=\frac{3}{2} \nu R T .\end{array}\right. Отсюда получаем: U=\frac{3}{2} p V . Внутренняя энергия газа в исходном состоянии U_{1}=\frac{3}{2} p_{0} S L , а в конечном состоянии U_{2}=\frac{3}{2} p(b) \cdot S(L+b)=\frac{3}{2}\left(p_{0}+\frac{k b}{S}\right) S(L+b) .

4. Из первого начала термодинамики получаем: Q=U_{2}-U_{1}+A_{12} . Работа газа A_{12} при сдвиге поршня из начального состояния в конечное равна произведению величины S и площади трапеции под графиком p(x) на рис. 2: A_{12}=\frac{1}{2}[p(0)+p(b)] S b=\left(p_{0} S+\frac{k b}{2}\right) b . Подставляя в выражение для Q значения U_{1}, U_{2} и A_{12} , получим: Q=\frac{3}{2}\left(p_{0} S+k b\right)(L+b)-\frac{3}{2} p_{0} S L+\left(p_{0} S+\frac{k b}{2}\right) b=\frac{3}{2} k b L+\frac{5}{2} p_{0} S b+2 k b^{2} . Решая это уравнение относительно k , получим: k=\frac{2 Q-5 p_{0} S b}{3 b L+4 b^{2}} .

Ответ k=\frac{2 Q-5 p_{0} S b}{3 b L+4 b^{2}}