Термодинамика

Задача 7

Условие

Тепловой двигатель использует в качестве рабочего вещества 1 моль идеального одноатомного газа. Цикл работы двигателя изображен на pV диаграмме и состоит из двух адиабат, изохоры и изобары. Зная, что КПД этого цикла 15 %, а минимальная и максимальная температуры газа при изохорном процессе t_{\text {min }}=37^{\circ} \mathrm{C} и t_{\text {max }}=302{ }^{\circ} \mathrm{C} , определите количество теплоты, получаемое газом за цикл.

Решение

При изобарном расширении на участке 1-2 газ получает от нагревателя количество теплоты Q_{12} , а на участке 3-4 отдаёт холодильнику в изохорном процессе количество теплоты Q_{34} . На других участках теплообмен отсутствует. В соответствии с первым началом термодинамики работа газа за цикл A равна разности количества теплоты, полученной от нагревателя и отданной холодильнику: A=Q_{12}-Q_{34} .

По определению КПД теплового двигателя \eta=\frac{A}{Q_{12}}=1-\frac{Q_{34}}{Q_{12}} , что позволяет найти теплоту, полученную от нагревателя: Q_{12}=\frac{Q_{34}}{1-\eta} , если известно Q_{34} .

Количество теплоты Q_{34} , отданное при изохорном охлаждении на участке 3-4, равно уменьшению внутренней энергии газа этом участке: Q_{34}=\left|\Delta U_{34}\right| . Внутренняя энергия идеального газа пропорциональна абсолютной температуре, и для 1 моль одноатомного газа U=\frac{3}{2} R T , а модуль её изменения на участке 3-4:

\left|\Delta U_{34}\right|=\frac{3}{2} R\left(T_{3}-T_{4}\right)=\frac{3}{2} R\left(t_{3}-t_{4}\right) . В итоге получим: Q_{12}=\frac{Q_{34}}{1-\eta}=\frac{3}{2} \frac{R\left(t_{\max }-t_{\min }\right)}{1-\eta} Подставляя значения физических величин, получим: Q_{12}=\frac{3}{2} \cdot \frac{8,31 \cdot 265}{0,85} \approx 3886 \text { Дж. }

Ответ Q_{12} \approx 3886 \text { Дж. }

Задача 8

Условие

В цикле теплового двигателя, изображенном на p-V диаграмме, используется в качестве рабочего тела некоторое количество одноатомного идеального газа. Чему равен КПД теплового двигателя, если p_{3}=4 p_{2} , V_{3}=4 V_{2} =2 V_{1} ?

47 Решение

Работа газа в процессе равна площади треугольника. A=\frac{1}{2} \cdot\left(4 p_{2}-p_{2}\right) \cdot\left(2 V_{2}-V_{2}\right)=\frac{3}{2} p_{2} V_{2} . По первому закону термодинамики Q=\Delta U+A, где U - изменение внутренней энергии, A - работа газа.

Внутренняя энергия равна

U=\frac{3}{2} \nu R T, где \nu - количество газа, T - температура газа.

Уравнение Менделеева-Клапейрона имеет вид:

p V=\nu R T \Rightarrow \frac{p V}{T}=\nu R=\text { const. } Газ получает количество теплоты на участке 2-3 , а отдаёт на участках 1-2 и 3-1 .

Изменение внутренней энергии равно:

\Delta U_{23}=\frac{3}{2} \nu R\left(T_{3}-T_{2}\right) . С учётом уравнения Клапейрона-Менделеева:

\begin{gathered}

p_{2} V_{2}=\nu R T_{2} \quad p_{3} V_{3}=\nu R T_{3}; \\

\Delta U_{23}=\frac{3}{2}\left(4 p_{2} \cdot 4 V_{2}-p_{2} V_{2}\right)=\frac{45}{2} p_{2} V_{2} .

\end{gathered} Работа газа на участке 2-3 ищется как площадь под графиком:

A_{23}=\frac{p_{2}+4 p_{2}}{2} \cdot\left(4 V_{2}-V_{2}\right)=\frac{15}{2} p_{2} V_{2}. Тогда

Q_{23}=\frac{45}{2} p_{2} V_{2}+\frac{15}{2} p_{2} V_{2}=30 p_{2} V_{2}. Откуда КПД

\eta=\frac{A}{Q}=\frac{\frac{3}{2} p_{2} V_{2}}{\frac{60}{2} p_{2} V_{2}}=\frac{1}{20}=0,05. Ответ 5%.