Уравнение состояния идеального газа. Законы Авогадро и Дальтона

Уравнение Клапейрона

До сих пор мы рассматривали изопроцессы, то есть такие газовые процессы, при которых один из трёх параметров данной массы газа (давление, объём или температура) не изменяется.

Однако в большинстве газовых процессов одновременно изменяются все три параметра данной массы газа. Поэтому возникает вопрос: существует ли одно уравнение, связывающее эти три параметра?

Покажем, что такое уравнение существует, и найдём его. Рассмотрим для этого переход из состояния 1 с параметрами p_{1}, V_{1}, T_{1} в состояние 2 с параметрами p_{2}, V_{2}, T_{2} в два этапа (рис. 1).

На первом этапе изобарно изменим объём газа от V_{1} до V_{2} . Температуру газа в промежуточном состоянии 3 обозначим T_{3} . Для этого изобарного процесса \frac{V_{2}}{T_{3}}=\frac{V_{1}}{T_{1}} .

На втором этапе изохорно изменим давление газа от p_{1} до p_{2} . Температура газа в конечном состоянии T_{2} , следовательно, для этого изохорного процесса \frac{p_{2}}{T_{2}}=\frac{p_{1}}{T_{3}} .

Приравняем теперь произведение левых частей двух уравнений произведению их правых частей. После сокращения на T_{3} получим: \frac{p_{2} V_{2}}{T_{2}}=\frac{p_{1} V_{1}}{T_{1}} .

Это и есть одно уравнение, связывающее все три параметра данной массы газа - p, V и T в двух различных состояниях. Из него следует, что значение выражения \frac{p V}{T} не изменяется при переходе данной массы газа из одного состояния в любое другое возможное состояние.

Первым эту закономерность установил французский физик Б. Клапейрон, поэтому её формулируют как уравнение Клапейрона: для данной массы газа произведение давления газа на его объём, делённое на его абсолютную температуру, является величиной постоянной: \frac{p V}{T}= const.

Уравнение Клапейрона можно вывести, используя и другую пару изопроцессов (изобарный и изотермический или изохорный и изотермический). Предлагаю вам сделать это самостоятельно.

Уравнения всех трёх изопроцессов являются частными случаями уравнения Клапейрона.

Пример 1

Условие

В цилиндрическом сосуде под поршнем находится газ. Сосуд переносят из смеси воды со льдом в кипяток, а давление в сосуде увеличивают в 2 раза. Увеличился или уменьшился объём газа? Во сколько раз?

Решение

Первоначально сосуд с газом находился в сосуде со смесью воды со льдом, значит, температура газа в состоянии 1 равна T_{1}=0^{\circ} \mathrm{C}=273 К. После переноса сосуда с газом в сосуд с кипятком его температура становится равной T_{2}=100^{\circ} \mathrm{C}=373 К. Так как масса газа в сосуде оставалась постоянной, запишем уравнение Клапейрона и учтём, что давление газа в сосуде увеличилось в 2 раза: \frac{p_{2} V_{2}}{T_{2}}=\frac{p_{1} V_{1}}{T_{1}} \Rightarrow \frac{2 p_{1} V_{2}}{T_{2}}=\frac{p_{1} V_{1}}{T_{1}} \Rightarrow \frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{T_{2}}{2 T_{1}}=\frac{373}{2 \cdot 273}= 0,68.

Следовательно объём газа в сосуде уменьшился в 1,46 раза.

Закон Авогадро

Согласно уравнению Клапейрона выражение \frac{p V}{T} постоянно для данной массы газа. Возникает вопрос: чему оно равно?

Возьмём два образца различных газов (например, водорода и кислорода) с одинаковыми значениями p, V и T (рис. 2).

Измерив массы газов, мы обнаружим, что масса кислорода в 16 раз больше, чем масса водорода. Вспомним теперь, что масса молекулы кислорода тоже в 16 раз больше, чем масса молекулы водорода (напомним, что относительные молекулярные массы кислорода и водорода равны соответственно 32 и 2).

А если отношение масс образцов газов равно отношению масс их молекул, то это означает, что в этих образцах газов содержится одинаковое число молекул!

Описанный опыт иллюстрирует общую закономерность, открытую итальянским учёным А. Авогадро в 19-м веке.

Закон Авогадро: в равных объёмах любых газов при одинаковых температурах и давлениях содержится одинаковое число молекул.

При заданных значениях p и T число молекул N в образце газа пропорционально его объёму V , поэтому значение выражения \frac{p V}{T} пропорицонально числу молекул в данном образце газа: \frac{p V}{T}=k N .

Согласно закону Авогадро, коэффициент пропорциональности k для всех газов один и тот же. Его называют постоянной Больцмана. Проведённые уже в 20 -м веке измерения показали, что k=1,38 \cdot 10^{-23} Дж/К.

Количество вещества

Закон Авогадро указывает на то, что число молекул является важнейшей характеристикой образца газа. Величину, определяющую число молекул в образце вещества, называют количеством вещества и обозначают v .

Единицей количества вещества в СИ является моль.

В одном моле любого вещества содержится одно и то же число молекул. Поэтому масса моля данного вещества пропорциональна массе одной молекулы этого вещества, то есть относительной молекулярной массе вещества. Поскольку в химических опытах массы веществ измеряют в граммах, для удобства расчётов приняли, что

моль - это количество вещества, масса которого, выраженная в граммах, численно равна относительной молекулярной массе этого вещества.

Поскольку масса одного моля углерода равна точно 12 г (по определению атомной единицы массы), моль определяют также следующим образом:

один моль - это количество вещества, в котором содержится столько же молекул, сколько атомов содержится в 12 г углерода.

Приведённые два определения моля эквивалентны. На практике обычно используют первое из них.

Молярная масса \boldsymbol{M} вещества численно равна массе одного моля этого вещества. Единицей молярной массы в СИ является 1 кг/моль.

Таким образом справедливо выражение \nu=\frac{m}{M} . Молярную массу вещества можно определить, используя таблицу Менделеева. Так, молярная масса кислорода равна 32 \cdot 10^{-3} кг/моль, углекислого газа 44 \cdot 10^{-3} кг/моль, воды 18 \cdot 10^{-3} кг/моль.

Постоянная Авогадро N_{\mathrm{A}} численно равна числу молекул в одном моле вещества.

Постоянная Авогадро численно равна числу атомов в 12 г углерода.

Масса одного моля вещества (молярная масса) равна произведению числа молекул в одном моле на массу m_{0} одной молекулы этого вещества: M= N_{\mathrm{A}} m_{0} . Отсюда N_{\mathrm{A}}=\frac{M}{m_{0}} .

Заметим теперь, что масса одного моля любого вещества, выраженная в граммах, численно равна массе одной молекулы этого вещества, выраженной в атомных единицах массы. Беря, например, углерод, получаем: N_{\mathrm{A}}=\frac{M}{m_{0}}= \frac{12 \text { г/моль }}{12 \text { а.е.м. }}=\frac{1 \text { г }}{1 \text { а.е.м. }} \cdot \frac{1}{\text { моль }}=\frac{1 \text { г }}{1,66 \cdot 10^{-24} \text { г }} \cdot \frac{1}{\text { моль }}=6 \cdot 10^{23} \frac{1}{\text { моль }} .

Таким образом, постоянная Авогадро равна 6 \cdot 10^{23} \frac{1}{\text { моль }} . Именно столько молекул содержится в одном моле любого вещества.