Уравнение состояния идеального газа. Законы Авогадро и Дальтона

Пример 3

Условие

Газ, находящийся в сосуде под неплотно пригнанным подвижным поршнем при температуре 46^{\circ} \mathrm{C} , охлаждают до -7^{\circ} \mathrm{C} . При этом объём газа уменьшается в 3 раза. Уменьшилась ли масса газа в сосуде? Если да, то во сколько раз?

Решение

Запишем уравнение Менделеева - Клапейрона для двух описанных в условии задачи состояний, учтя, что масса газа в сосуде изменяется из-за неплотно пригнанного поршня: p_{1} V_{1}=\frac{m_{1}}{M} R T_{1} ; p_{2} \frac{V_{1}}{3}= \frac{m_{2}}{M} R T_{2} . Здесь учтено уменьшение объёма газа в 3 раза.

А что же с давлением. На поршень в любой момент времени действуют сила тяжести, сила давления со стороны атмосферы и сила давления со стороны газа. Это означает, что процесс протекает при постоянном давлении, однако, изобарным он не является, так как изобарный процесс может происходить только при постоянной массе газа.

Учтя равенство давлений, разделим уравнения друг на друга и переведём температуру газа в кельвины.

Получим \frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{3 T_{2}}{T_{1}}=\frac{3 \cdot 266}{319}=2,5 . Таким образом, масса газа в сосуде уменьшилась в 2,5 раза.

Закон Дальтона

Если в сосуде находится смесь из различных газов, то каждый из них вносит свой вклад в общее давление. Давление, которое оказывал бы один из входящих в смесь газов, если бы других газов не было, называют парциальным давлением этого газа.

Английский физик Дж. Дальтон установил на опыте закономерность, которую формулируют как закон Дальтона: давление смеси газов равно сумме их парциальных давлений:

p=p_{1}+p_{2}+p_{3}+\ldots

Пример 4

Условие

В сосуде объёмом 5 л при температуре 0^{\circ} \mathrm{C} содержится 16 г кислорода и 8 г гелия. Чему равно давление в сосуде?

Решение

Воспользуемся законом Дальтона для смеси кислорода и гелия: p=p_{1}+p_{2} . Парциальные давления кислорода и гелия найдём из уравнения Менделеева - Клапейрона, причём учтём, что каждый из газов занимает весь предоставленный ему объём, т.е. объём сосуда: p_{\text {к }} V=\frac{m_{\text {к }}}{M_{\text {к }}} R T ; p_{\text {г }} V=\frac{m_{\text {г }}}{M_{\text {г }}} R T . Молярные массы кислорода и гелия равны соответственно 32 \cdot 10^{-3} кг/моль и 4 \cdot 10^{-3} кг/моль, а температура содержимого сосуда 273 К.

Тогда давление в сосуде равно p=\frac{R T}{V}\left(\frac{m_{\text {К }}}{M_{\text {К }}}+\frac{m_{\text {г }}}{M_{\text {г }}}\right)=\frac{8,31 \cdot 273}{5 \cdot 10^{-3}}\left(\frac{16 \cdot 10^{-3}}{32 \cdot 10^{-3}}+\right. \left.\frac{8 \cdot 10^{-3}}{4 \cdot 10^{-3}}\right)=1,13 МПа.

Пример 5

Условие

В некотором процессе температура и объём данной массы газа связаны соотношением T V^{2}= const. Как изменяется в данном процессе давление газа, когда его абсолютная температура увеличивается в 4 раза?

Решение

Обратим внимание на то, что масса газа в этом процессе не меняется, значит, можно использовать уравнение Клапейрона: \frac{p V}{T}= const.

Возведём это уравнение в квадрат и поделим его на соотношение, заданное в условии. Получим \frac{p^{2}}{T^{3}}= const.

Таким образом давление пропорционально корню квадратному из куба абсолютной температуры: p \sim \sqrt{T^{3}} . Значит, когда абсолютная температура газа увеличивается в 4 раза, давление увеличивается в 8 раз.