Абсолютная температура и средняя кинетическая энергия молекул

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа

Движущиеся хаотически молекулы газа сталкиваются не только друг с другом, но и со стенками содержащего газ сосуда.

Если сыпать на лист тонкого картона песок, то лист будет оставаться постоянно согнутым, будто на него действует постоянная сила, хотя его деформация обусловлена ударами отдельных песчинок. Этот опыт позволяет наглядно представить, как частые удары молекул газа о стенку сосуда создают постоянное давление на неё.

В середине 19-го века немецкий физик Р. Клаузиус вывел соотношение, выражающее давление газа p через концентрацию его молекул n , массу одной молекулы m_{0} и среднее значение квадрата скорости молекул \overline{v^{2}} . Это соотношение представляет собой основное уравнение молекулярнокинетической теории идеального газа. Выведем и мы это соотношение.

Для вывода основного уравнения МКТ рассмотрим одноатомный идеальный газ. Молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие.

Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку S (рис. 1) и вычислим давление, оказываемое на эту площадку.

При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс m_{0} v-\left(-m_{0} v\right)=2 m_{0} v где m_{0} - масса молекулы, v - её скорость. За время t площадки достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием S и высотой vt (см. рис. 1).

Число этих молекул равно N=n V=n S v t , где n - концентрация молекул.

Необходимо, однако, учитывать, что реально молекулы движутся к площадке S , под разными углами, имеют различные скорости, причем скорость молекул при каждом соударении меняется.

Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1 / 3 молекул, причем из них половина ( 1 / 6 ) движется вдоль данного направления в одну сторону, половина - в противоположную.

Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку S будет N_{\text {общ }}=\frac{1}{6} n S v t .

При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс:

\Delta p=2 m_{0} v N_{\text {общ }}=2 m_{0} v \frac{1}{6} n S v t=\frac{1}{3} m_{0} n S v^{2} t.

Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда

p=\frac{F}{S}=\frac{\Delta p}{S t}= \frac{\frac{1}{3} m_{0} n S v^{2} t}{S t}=\frac{1}{3} m_{0} n v^{2}.

Если газ в объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями v_{1} , v_{2} , \ldots , v_{N} то целесообразно рассматривать среднюю квадратичную скорость \bar{v}=\sqrt{\frac{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{N}^{2}}{N}} , характеризующую всю совокупность молекул газа.

Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда p=\frac{1}{3} m_{0} n \overline{v^{2}} . Это выражение называется основньлм уравнением молекулярнокинетической теории идеальных газов.

Точный расчет с учетом движения молекул по всевозможным направлениям даёт ту же формулу.

Подумайте, как изменилось бы давление газа на стенку сосуда, если бы она поглощала все налетающие на неё молекулы?

Используя основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа и формулу для расчёта средней кинетической энергии поступательного движения молекул \bar{E}=\frac{m_{0} \overline{v^{2}}}{2} , получим, что давление газа можно выразить формулой p=\frac{2}{3} n \bar{E} .

Связь между температурой и средней кинетической энергией молекул

Запишем две формулы для давления газа: p=\frac{2}{3} n \bar{E} и p=n k T , которые были получены нами ранее. Приравняв правые части этих выражений, получим, что средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа связана с его абсолютной температурой соотношением \bar{E}=\frac{3}{2} k T .

Это соотношение раскрывает физический смысл абсолютной температуры: абсолютная температура является мерой средней кинетической энергии движения молекул.

Таким образом, средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа зависит только от абсолютной температуры газа.

Например, молекулы кислорода и водорода при одинаковой температуре имеют одинаковые средние кинетические энергии поступательного движения.

Скорости молекул

Используя основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа p=\frac{1}{3} m_{0} n \overline{v^{2}} , а также уравнение p=n k T , получим выражение для расчёта среднеквадратиной скорости движения молекул \bar{v}=\sqrt{\frac{3 k T}{m_{0}}} .

Учитывая, что универсальная газовая постоянная R=k N_{\mathrm{A}} , а молярная масса M=m_{0} N_{\mathrm{A}} , получим, что среднеквадратичную скорость молекул можно выразить формулой \bar{v}=\sqrt{\frac{3 R T}{M}} .

Выразим среднеквадратичную скорость молекул через давление газа и его плотность. Для этого воспользуемся формулами \bar{v}=\sqrt{\frac{3 R T}{M}}, \rho=\frac{m}{M} \quad и уравнением состояния идеального газа p V=\frac{m}{M} R T . Получим \bar{v}=\sqrt{\frac{3 p}{\rho}} .