Абсолютная температура и средняя кинетическая энергия молекул

В начале 20 -го века немецкий физик О. Штерн впервые измерил скорости молекул на опыте. Вдоль оси двух соединённых цилиндров A и B он поместил покрытую серебром проволоку (рис. 2). В цилиндре A была прорезана узкая вертикальная щель. Воздух из системы был откачан.

Когда проволоку нагревали электрическим током, атомы серебра испарялись и вылетали через узкую щель, вследствие чего напротив щели на внутренней поверхности цилиндра B появлялась узкая серебристая полоса 1.

Когда соединённые цилиндры приводили во вращение с большой частотой вокруг их общей оси, вместо узкой полосы 1 появлялась широкая и к тому же смещённая относительно щели полоса 2.

Полоса смещалась при вращении цилиндров потому, что за время, пока атомы серебра пролетали от щели в цилиндре A до поверхности цилиндра B , цилиндры поворачивались на некоторый угол.

Полоса при этом расширялась, потому что скорости атомов при одной и той же температуре различны. Более медленным атомам требуется большее время, чтобы пролететь расстояние между цилиндрами, поэтому времени пролёта этих атомов соответствует больший угол поворота цилиндров.

Пример 1

Условие

Чему равна среднеквадратичная скорость молекул газа, находящегося в сосуде объёмом 3 \text{ м}^{3} , если масса газа равна 2 кг, а давление в сосуде равно 200 кПа?

Решение

Воспользуемся выражением для расчёта среднеквадратичной скорости молекул газа \bar{v}=\sqrt{\frac{3 R T}{M}} , а также уравнением состояния идеального газа p V=\frac{m}{M} R T . Объединяя эти две формулы, получим \bar{v}=\sqrt{\frac{3 p V}{m}}=\sqrt{\frac{3 \cdot 2 \cdot 10^{5} \cdot 3}{2}} \approx 949 \frac{\text{м}}{\mathrm{c}} .

Пример 2

Условие

При повышении температуры идеального газа на \Delta T_{1}=200 К средняя квадратичная скорость его молекул увеличилась с \bar{v}_{1}=200 \text{ м/с} до \bar{v}_{2}=300 \text{ м/с} . На какую величину \Delta T_{2} надо повысить температуру этого газа, чтобы увеличить среднюю квадратичную скорость молекул с \bar{v}_{3}=400 \text{ м/с} до \bar{v}_{4}=500 \text{ м/с} ?

Решение

Средняя кинетическая энергия теплового движения молекул идеального газа прямо пропорциональна абсолютной температуре: \bar{E}=\frac{3}{2} k T , где k - постоянная Больцмана.

Значит, изменение средней кинетической энергии теплового движения молекул идеального газа прямо пропорционально изменению абсолютной температуры:

\frac{m \bar{v}_{2}^{2}}{2}-\frac{m \bar{v}_{1}^{2}}{2}=\frac{3}{2} k \Delta T_{1} ; \frac{m \bar{v}_{4}^{2}}{2}-\frac{m \bar{v}_{3}^{2}}{2}=\frac{3}{2} k \Delta T_{2} .

Найдем их отношение и выразим величину \Delta T_{2} :

\Delta T_{2}=\Delta T_{1} \frac{\bar{v}_{4}^{2}-\bar{v}_{3}^{2}}{\bar{v}_{2}^{2}-\bar{v}_{1}^{2}}=200 \cdot \frac{500^{2}-400^{2}}{300^{2}-200^{2}}=360 \text{ К} .

Пример 3

Условие

Два газа, аргон и гелий находятся в одном сосуде. Средние кинетические энергии их молекул совпадают. Парциальное давление аргона в 4 раза больше, чем парциальное давление гелия. Найдите отношение концентрации аргона к концентрации гелия.

Решение

Парциальное давление газа можно найти, используя выражение p=n k T . Откуда концентрация n=\frac{p}{k T} .

Средняя кинетическая энергия одноатомного идеального газа находится по формуле: \bar{E}=\frac{3}{2} k T . Так как средние кинетические энергии совпадают, то совпадают и температуры газов. Найдем отношение концентраций: \frac{n_{A r}}{n_{H e}}= \frac{p_{A r}}{p_{H e}}=4 .