Термодинамика

Задача 1

Условие

В вертикальном теплоизолированном цилиндрическом сосуде под поршнем находится 0,5 моль гелия, нагретого до некоторой температуры. Поршень сначала удерживают, затем отпускают, и он начинает подниматься. Масса поршня 1 кг. Какую скорость приобретет поршень к моменту, когда поршень поднимется на 4 см, а гелий охладится на 20 К? Трением и теплообменом с поршнем пренебречь.

42 Решение

Поршень начинает двигаться, так как газ, находящийся под поршнем, расширяется и давит на поршень. Изменение полной механической энергии поршня равно работе газа \Delta E=A .

Если отсчитывать потенциальную энергию от уровня начального положения поршня, то в начальный момент времени (момент отпускания поршня) равны нулю как потенциальная, так и кинетическая энергия поршня. При движении поршня он приобретает потенциальную энергию E_{n}=m g h и кинетическую энергию E_{k}=\frac{m v^{2}}{2} . m g h+\frac{m v^{2}}{2}=A.

Процесс происходит теплоизолированно, без обмена теплом с окружающей средой. Такой процесс является адиабатическим, для него первый закон термодинамики имеет вид Q=\Delta U+A=0 . Работа газа A=-\Delta U=-\frac{3}{2} \nu R \Delta T . Формула для внутренней энергии справедлива для одноатомного газа, каким как раз является гелий. Гелий, по условию, охлаждается на 20 K , изменение температуры \Delta T=-20 К .

Кинетическая энергия поршня \frac{m v^{2}}{2}=-\frac{3}{2} \nu R \Delta T-m g h. Скорость поршня v=\sqrt{\frac{2}{m}\left(-\frac{3}{2} \nu R \Delta T-m g h\right)}=\sqrt{\frac{2}{1}\left(-\frac{3}{2} \cdot 0,5 \cdot 8,31 \cdot(-20)-1 \cdot 10 \cdot 0,04\right)} \cong 16 м/с.

Ответ v=16 м/с .

Задача 2

Условие

В вакууме закреплен горизонтальный цилиндр. В цилиндре находится гелий в количестве 0,1 моль, запертый поршнем. Поршень удерживается упорами и может скользить влево вдоль стенок цилиндра без трения. В поршень попадает пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 400 м/с, и застревает в нем. Температура гелия в момент остановки поршня в крайнем левом положении возрастает на 64 К. Какова масса поршня? Считать, что за время движения поршня газ не успевает обменяться теплом с поршнем и цилиндром

43 Решение

Закон сохранения импульса при неупругом соударении: m v_{0}=(m+M) v_{п}. Отсюда: v_{п}=\frac{m v_{0}}{m+M}, где m и M - соответственно масса пули и масса поршня, v_{0} - скорость пули, v_{n} скорость поршня после попадания пули. Для внутренней энергии одноатомного идеального газа: U=\frac{3}{2} \nu R T . Механическая энергия поршня с пулей превратится во внутреннюю энергию гелия. Поэтому: \Delta U=\frac{3}{2} \nu R \Delta T=\frac{(m+M) v_{п}^{2}}{2}. Решив систему уравнений, получаем: M=\frac{m^{2} v_{0}^{2}}{3 R \nu \Delta T}-m.

Ответ M \approx 90 г.