Термодинамика

Задача 5

Условие

Один моль одноатомного идеального газа переводят из состояния 1 в состояние 2 таким образом, что в ходе процесса давление газа возрастает прямо пропорционально его объёму. В результате плотность газа уменьшается в \alpha=2 раза. Газ в ходе процесса получает количество теплоты Q=20 кДж. Какова температура газа в состоянии 1?

Решение

44 Изобразим процесс на p V -диаграмме и обозначим давления и объёмы газа в состояниях 1 и 2 через ( p_{1}, V_{1} ) и \left(p_{2}, V_{2}\right) соответственно. Температуру газа в состоянии 1 обозначим через T_{1} , а в состоянии 2 - через T_{2} .

Из первого закона термодинамики следует, что поувеличение внутренней энергии газа и на совершение им работы: Q=\Delta U_{12}+A_{12}.

Используем термодинамическую модель одноатомного идеального газа: \left\{\begin{array}{l}p V=\nu R T, \\ U=\frac{3}{2} \nu R T .\end{array}\right. Изменение его внутренней энергии равно \Delta U_{12}=\frac{3}{2} \nu R\left(T_{2}-T_{1}\right)=\frac{3}{2}\left(p_{2} V_{2}-p_{1} V_{1}\right).

Совершённая газом работа численно равна площади трапеции под графиком процесса на p V -диаграмме, т.е. разности площадей треугольников: A_{12}=\frac{1}{2}\left(p_{2} V_{2}-p_{1} V_{1}\right).

С учётом этого получаем Q=\Delta U_{12}+A_{12}=2\left(p_{2} V_{2}-p_{1} V_{1}\right). Из графика процесса следует, что \frac{p_{2}}{p_{1}}=\frac{V_{2}}{V_{1}}. Поэтому \frac{p_{2} V_{2}}{p_{1} V_{1}}=\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)^{2}, и выражение для количества теплоты приобретает вид Q=2 p_{1} V_{1}\left(\frac{V_{2}^{2}}{V_{1}^{2}}-1\right)=2 \nu R T_{1}\left(\frac{V_{2}^{2}}{V_{1}^{2}}-1\right).

Заметим, что искомое отношение плотностей газа массой m в состояниях 1 и 2 равно \alpha=\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}=\frac{m / V_{1}}{m / V_{2}}=\frac{V_{2}}{V_{1}}.

Поэтому Q=2 \nu R T_{1}\left(\frac{V_{2}^{2}}{V_{1}^{2}}-1\right)=2 \nu R T_{1}\left(\alpha^{2}-1\right), откуда T_{1}=\frac{Q}{2 \nu R\left(\alpha^{2}-1\right)}.

Подставляя в полученную формулу числовые данные, находим T_{1} .

Ответ T_{1} \approx 400 К.

Задача 6

Условие

В вертикальном цилиндре с гладкими стенками под массивным металлическим поршнем находится одноатомный идеальный газ. В начальном состоянии поршень массой M и площадью основания S покоится на высоте h , опираясь на выступы (см. рис. 1). Давление газа p_{0} равно внешнему атмосферному. Какое количество теплоты Q нужно сообщить газу при медленном его нагревании, чтобы поршень оказался на высоте H (см. рис. 2)? Тепловыми потерями пренебречь.

45 Решение

46 1. Систему отсчёта, связанную с Землёй, будем считать инерциальной. В процессе медленного подъёма поршня его ускорение считаем ничтожно малым. Поэтому сумма приложенных к поршню сил при его движении равна нулю. В проекциях на вертикальную ось y получаем: F_{1}-F_{0}-M g=0, \text { или } p_{1} S-p_{0} S-M g=0 . Отсюда получаем давление газа p_{1} под движушимся поршнем: p_{1}=p_{0}+\frac{M g}{S}.

2. Используем модель одноатомного идеального газа: \left\{\begin{array}{l}p V=\nu R T, \\ U=\frac{3}{2} \nu R T .\end{array}\right. Отсюда получаем: U=\frac{3}{2} p V. Внутренняя энергия газа в исходном состоянии U_{0}=\frac{3}{2} p_{0} S h, а в конечном состоянии U_{1}=\frac{3}{2} p_{1} S H=\frac{3}{2}\left(p_{0} S+M g\right) H.

3. Процесс движения поршня идёт при постоянном давлении газа p_{1} . Поэтому из первого начала термодинамики получаем: Q=U_{1}-U_{0}+p_{1} \Delta V=U_{1}-U_{0}+p_{1} S(H-h) . Подставляя сюда выражения для p_{1}, U_{0} и U_{1} , получим: Q=\frac{3}{2}\left(p_{0} S+M g\right) H-\frac{3}{2} p_{0} S h+\left(p_{0} S+M g\right)(H-h)=\frac{3}{2} M g h+\frac{5}{2}\left(M g+p_{0} S\right) \cdot(H-h).

Ответ Q=\frac{3}{2} M g h+\frac{5}{2}\left(M g+p_{0} S\right) \cdot(H-h) .