Абсолютная температура и средняя кинетическая энергия молекул

Пример 4

Условие

Чему равна масса m азота, который содержится в воздухе комнаты объёмом 75 м ^{3} ? Средняя квадратичная скорость молекул азота 500 м/с. Считать, что воздух состоит из азота и кислорода. Концентрация молекул азота в \beta=4 раза больше концентрации молекул кислорода. Атмосферное давление 10^{5} Па.

Решение

Пусть температура газа в комнате T . Тогда давления азота и кислорода: p_{\text{аз}}=n_{\text{аз}} k T ; p_{\mathrm{K}}=n_{\mathrm{K}} k T=\frac{n_{\text{аз}} k T}{\beta}=\frac{p_{\text{аз}}}{\beta} .

По закону Дальтона атмосферное давление в комнате равно: p=p_{\text {аз }}+p_{\text {к }}=p_{\text {аз }}\left(1+\frac{1}{\beta}\right)=\frac{p_{\text{аз}}(1+\beta)}{\beta} .

Давление газа также можно найти по формуле: p_{\text{аз}}=\frac{1}{3} m_{0 \text{аз}} n_{\text{аз}} \overline{v^{2}}= \frac{1}{3} m_{0 \text { аз }} \frac{N_{\text {аз }}}{V} \overline{v^{2}}=\frac{1}{3} m_{0 \text { аз }} \frac{m_{\text {аз }}}{m_{\text {0аз }} V} \overline{v^{2}}=\frac{1}{3} \frac{m_{\text {аз }}}{V} \overline{v^{2}} .

Откуда масса азота m_{\text{аз}}=\frac{3 V p_{\text{аз}}}{\overline{v^{2}}}=\frac{3 V p \beta}{\overline{v^{2}}(1+\beta)}=\frac{3 \cdot 10^{5} \cdot 4}{500^{2}(1+4)} \approx 72 кг.

Пример 5

Условие

Гелий в количестве 0,05 моля находится в горизонтальном закрепленном цилиндре с поршнем, который может без трения перемещаться

в цилиндре и вначале удерживается в равновесии силой F_{1}=280 Н. При этом среднеквадратичная скорость движения атомов гелия составляет 1400 \text{ м/с} . Затем гелий стали охлаждать, а поршень медленно сдвигать, постепенно уменьшая действующую на него силу. Когда эта сила равнялась F_{2}=150 \text{н} , среднеквадратичная скорость движения атомов гелия стала равной 1200 \text{ м/с} . На какое расстояние \Delta l при этом сдвинулся поршень? Внешним давлением пренебречь.

Решение

Обозначим начальный объем гелия в цилиндре через V=S l_{1} , а давление - через p_{1}=\frac{F_{1}}{S} , где площадь поршня равна S , а длина столба газа равна l_{1} .

Тогда, согласно уравнению Менделеева - Клапейрона, p_{1} V_{1}=p_{1} S l_{1}= v R T_{1} .

Среднеквадратичная скорость атомов гелия при начальной температуре T_{1} равна \bar{v}_{1}=\sqrt{\frac{3 R T_{1}}{M}} , где M - молярная масса гелия. Отсюда T_{1}=\frac{M \bar{v}_{1}^{2}}{3 R} .

Из написанных соотношений получаем:

l_{1}=\frac{\nu M \bar{v}_{1}^{2}}{3 F_{1}}.

Аналогичным образом получаем, что в конце процесса:

l_{2}=\frac{\nu M \bar{v}_{2}^{2}}{3 F_{2}}.

Таким образом, искомый сдвиг поршня равен:

\Delta l=l_{2}-l_{1}=\frac{\nu M}{3}\left(\frac{\bar{v}_{2}^{2}}{F_{2}}-\right. \left.\frac{\bar{v}_{1}^{2}}{F_{1}}\right)=\frac{0,05 \cdot 4 \cdot 10^{-3}}{3}\left(\frac{1200^{2}}{150}-\frac{1400^{2}}{280}\right) \approx 0,173 \text{ м}=17,3 \text{ см}.