Абсолютная температура и средняя кинетическая энергия молекул

Пример 4 Условие Чему равна масса m азота, который содержится в воздухе комнаты объёмом \(75\) м \(^{3}\) ? Средняя квадратичная скорость молекул азота 500 м/с. Считать, что воздух состоит из азота и кислорода. Концентрация молекул азота в \(\beta=4\) раза больше концентрации молекул кислорода. Атмосферное давление \(10^{5}\) Па. Решение Пусть температура газа в комнате \(T\) . Тогда давления азота и кислорода: \(p_{\text{аз}}=n_{\text{аз}} k T ; p_{\mathrm{K}}=n_{\mathrm{K}} k T=\frac{n_{\text{аз}} k T}{\beta}=\frac{p_{\text{аз}}}{\beta}\) . По закону Дальтона атмосферное давление в комнате равно: \(p=p_{\text {аз }}+p_{\text {к }}=p_{\text {аз }}\left(1+\frac{1}{\beta}\right)=\frac{p_{\text{аз}}(1+\beta)}{\beta}\) . Давление газа также можно найти по формуле: \(p_{\text{аз}}=\frac{1}{3} m_{0 \text{аз}} n_{\text{аз}} \overline{v^{2}}= \frac{1}{3} m_{0 \text { аз }} \frac{N_{\text {аз }}}{V} \overline{v^{2}}=\frac{1}{3} m_{0 \text { аз }} \frac{m_{\text {аз }}}{m_{\text {0аз }} V} \overline{v^{2}}=\frac{1}{3} \frac{m_{\text {аз }}}{V} \overline{v^{2}}\) . Откуда масса азота \(m_{\text{аз}}=\frac{3 V p_{\text{аз}}}{\overline{v^{2}}}=\frac{3 V p \beta}{\overline{v^{2}}(1+\beta)}=\frac{3 \cdot 10^{5} \cdot 4}{500^{2}(1+4)} \approx 72\) кг. Пример 5 Условие Гелий в количестве 0,05 моля находится в горизонтальном закрепленном цилиндре с поршнем, который может без трения перемещаться в цилиндре и вначале удерживается в равновесии силой \(F_{1}=280\) Н. При этом среднеквадратичная скорость движения атомов гелия составляет \(1400 \text{ м/с}\) . Затем гелий стали охлаждать, а поршень медленно сдвигать, постепенно уменьшая действующую на него силу. Когда эта сила равнялась \(F_{2}=150 \text{н}\) , среднеквадратичная скорость движения атомов гелия стала равной \(1200 \text{ м/с}\) . На какое расстояние \(\Delta l\) при этом сдвинулся поршень? Внешним давлением пренебречь. Решение Обозначим начальный объем гелия в цилиндре через \(V=S l_{1}\) , а давление - через \(p_{1}=\frac{F_{1}}{S}\) , где площадь поршня равна \(S\) , а длина столба газа равна \(l_{1}\) . Тогда, согласно уравнению Менделеева - Клапейрона, \(p_{1} V_{1}=p_{1} S l_{1}= v R T_{1}\) . Среднеквадратичная скорость атомов гелия при начальной температуре \(T_{1}\) равна \(\bar{v}_{1}=\sqrt{\frac{3 R T_{1}}{M}}\) , где \(M\) - молярная масса гелия. Отсюда \(T_{1}=\frac{M \bar{v}_{1}^{2}}{3 R}\) . Из написанных соотношений получаем: \[l_{1}=\frac{\nu M \bar{v}_{1}^{2}}{3 F_{1}}.\] Аналогичным образом получаем, что в конце процесса: \[l_{2}=\frac{\nu M \bar{v}_{2}^{2}}{3 F_{2}}.\] Таким образом, искомый сдвиг поршня равен: \[\Delta l=l_{2}-l_{1}=\frac{\nu M}{3}\left(\frac{\bar{v}_{2}^{2}}{F_{2}}-\right. \left.\frac{\bar{v}_{1}^{2}}{F_{1}}\right)=\frac{0,05 \cdot 4 \cdot 10^{-3}}{3}\left(\frac{1200^{2}}{150}-\frac{1400^{2}}{280}\right) \approx 0,173 \text{ м}=17,3 \text{ см}.\]