Средняя путевая скорость Часть 1: Средняя путевая скорость

Задача 5

Условие

Автомобиль проехал половину пути со скоростью \vartheta_1=60 км/ч. Следующий отрезок пути он ехал со скоростью \vartheta_2=15 км/ч, а последний отрезок пути - со скоростью \vartheta_3=45 км/ч. Какова средняя скорость автомобиля, если второй и третий отрезки пройдены за одинаковое время?

Решение

5 Пусть S - весь путь. Средняя скорость определяется как \vartheta_{ср} = \frac{S}{t_{общ}} . Общее время t_{общ} = t_1 + t_2 + t_3 .

Первый участок: S_1 = \frac{S}{2} \implies t_1 = \frac{S_1}{\vartheta_1} = \frac{S}{2\vartheta_1}

Второй и третий участки составляют вторую половину пути, S_2 + S_3 = \frac{S}{2} . По условию, время на этих участках одинаково: t_2 = t_3 . Тогда S_2 = \vartheta_2 t_2 и S_3 = \vartheta_3 t_2 . S_2 + S_3 = \vartheta_2 t_2 + \vartheta_3 t_2 = (\vartheta_2 + \vartheta_3)t_2 Отсюда следует: \frac{S}{2} = (\vartheta_2 + \vartheta_3)t_2 \implies t_2 = \frac{S}{2(\vartheta_2 + \vartheta_3)} Так как t_2=t_3 , то общее время на последних двух участках равно 2t_2 .

Подставим все в формулу средней скорости: \vartheta_{ср} = \frac{S}{t_1 + 2t_2} = \frac{S}{\frac{S}{2\vartheta_1} + 2\left(\frac{S}{2(\vartheta_2 + \vartheta_3)}\right)} = \frac{S}{\frac{S}{2\vartheta_1} + \frac{S}{\vartheta_2 + \vartheta_3}} Сокращаем S : \vartheta_{ср} = \frac{1}{\frac{1}{2\vartheta_1} + \frac{1}{\vartheta_2 + \vartheta_3}} = \frac{1}{\frac{(\vartheta_2 + \vartheta_3) + 2\vartheta_1}{2\vartheta_1(\vartheta_2 + \vartheta_3)}} = \frac{2\vartheta_1(\vartheta_2 + \vartheta_3)}{2\vartheta_1 + \vartheta_2 + \vartheta_3} Подставляем числовые значения: \vartheta_{ср} = \frac{2 \cdot 60 (15+45)}{2 \cdot 60 + 15 + 45} = \frac{120 \cdot 60}{120 + 60} = \frac{7200}{180} = 40 км/ч

Ответ 40 км/ч.

Задача 6

Условие

Когда в доме отключили отопление, температура в комнате стала медленно понижаться и за \tau=75 минут уменьшилась на t = 3 °C. Найдите, с какой средней скоростью (в мм/ч) опускался верхний край столбика ртути. Для удобства слева от шкалы термометра приложили линейку.

6 Решение

Общее время падения температуры: \tau = 75 мин = 1\frac{1}{4} часа = \frac{5}{4} ч .

Найдем на рисунке совмещенные риски шкал линейки и термометра, например: S_1 = 58 мм \leftrightarrow t^\circ_1 = 10^\circ C S_2 = 63 мм \leftrightarrow t^\circ_2 = 14^\circ C

Тогда, если мы найдем отношение изменения высоты столбика к изменению температуры: \frac{\Delta S}{\Delta t^\circ } = \frac{S_2-S_1}{t^\circ_2-t^\circ_1} = \frac{(63-58)мм}{(14-10)^\circ C} = \frac{5 мм}{4^\circ C} = 1,25 \frac{мм}{^\circ C} Это означает, что высота столбика ртути изменяется на 1,25 мм при изменении температуры на 1°С.

По условию, температура уменьшилась на 3°C. Тогда верхний край столбика ртути опустится на: S = 1,25 \frac{мм}{^\circ C} \cdot 3^\circ C = 3,75 мм

Тогда средняя скорость опускания верхнего края столбика ртути равна: \vartheta = \frac{S}{\tau} = \frac{3,75 мм}{5/4 ч} = 3 \frac{мм}{ч}

Ответ 3 мм/ч.