Закон сложения скоростей

Задача 1

Условие

Расстояние от пункта A до пункта В катер проходит за время t_1 = 3,0 ч, а обратно — за t_2 = 6,0 ч. За какое время катер, при выключенном моторе, пройдет расстояние от А до В?

Решение

1) t_1 = \frac{l}{\vartheta_{к} + \vartheta_{р}} \quad (1) l = t_1(\vartheta_{к} + \vartheta_{р})

1 2) t_2 = \frac{l}{\vartheta_{к} - \vartheta_{р}} \quad (2) l = t_2(\vartheta_{к} - \vartheta_{р})

2 3) t_3 = \frac{l}{\vartheta_{р}}

3 \vartheta_{к}t_1 + \vartheta_{р}t_1 = \vartheta_{к}t_2 - \vartheta_{р}t_2 \vartheta_{р}t_1 + \vartheta_{р}t_2 = \vartheta_{к}t_2 - \vartheta_{к}t_1 \vartheta_{р}(t_1 + t_2) = \vartheta_{к}(t_2 - t_1) \vartheta_{к} = \frac{\vartheta_{р}(t_2 + t_1)}{(t_2 - t_1)} \quad (3)

Подставим (3) в (1) t_1 = \frac{l}{\vartheta_{р}\frac{(t_2 + t_1)}{(t_2 - t_1)} + \vartheta_{р}} t_1 = \frac{l}{\vartheta_{р}\left( \frac{(t_2 + t_1)}{(t_2 - t_1)} + 1 \right)} t_1 = \frac{t_3}{\frac{t_2 + t_1 + t_2 - t_1}{t_2 - t_1}} t_1 = \frac{t_3(t_2 - t_1)}{2t_2} t_3 = \frac{2t_1 t_2}{t_2 - t_1} t_3 = \frac{2 \cdot 3 \cdot 6}{6 - 3} = \frac{36}{3} = 12 ч

Ответ 12 ч

Задача 2

Условие

От пристани А одновременно отчаливают плот и катер. Катер доплывает до пристани Б и, сразу же повернув обратно, возвращается в А. Какую часть пути от А до Б проплывет за это время плот, если скорость катера относительно воды в 4 раза больше скорости течения?

Решение

4 \vartheta_{к} = 4\vartheta_{р} t_{к} = \frac{S}{\vartheta_{к} + \vartheta_{р}} + \frac{S}{\vartheta_{к} - \vartheta_{р}} = \frac{S}{5\vartheta_{р}} + \frac{S}{3\vartheta_{р}} = \frac{3S}{15\vartheta_{р}} + \frac{5S}{15\vartheta_{р}} = \frac{8S}{15\vartheta_{р}} t_{р} = t_{к} S_{пл} = t_{к} \cdot \vartheta_{р} = \frac{8S}{15\vartheta_{р}} \vartheta_{р} S_{пл} = \frac{8}{15}S \frac{S_{пл}}{S} = \frac{8}{15}

Ответ \frac{8}{15} расстояния проплывает плот

Задача 3

Условие

Модуль скорости катера \vartheta_1 = 7 м/с, модуль скорости течения реки 3 м/с. Когда катер двигался против течения, с него в воду сбросили поплавок. Затем катер прошел против течения расстояние S_1 = 4,2 км, повернул обратно и догнал поплавок. Чему равно общее время движения катера?

Решение

5 1) t_1 = \frac{S_1}{\vartheta_{к} - \vartheta_{р}} - \text{время, через которое обнаружили потерю} t_1 = \frac{4200}{7 - 3} = 1050 с S_2 = \vartheta_{р}t_1 - \text{расстояние на которое уплыл поплавок} S_2 = 3 \cdot 1050 = 3150 м

Чтобы догнать поплавок после разворота катеру потребуется время t_2 (на этом этапе перейдем в СО связанную с рекой, проще сказать «выключим реку») – т.к. она «помогает» в движении и катера и поплавка одинаково, значит представим, что она не будет помогать никому.

Ситуация при этом будет развиваться так: Поплавок – на месте, Катер – к нему со скоростью \vartheta_{к}

t_2 = \frac{S_1 + S_2}{\vartheta_{к}} = \frac{4200 + 3150}{7} = 1050 (с) t_{общ к} = t_1 + t_2 = 2100 с = 35 мин

Обратите внимание, что t_1 = t_2

*Если бы мы с вами «выключили реку» на этапе 1-ого действия, то сразу бы смогли воспользоваться следующим: После выключения реки: 1) Скорость катера «по» и «против» течения одинаков t_1 = t_2 2) Поплавок на месте t_{общ к} = 2t_1

Ответ 35 мин