Средняя путевая скорость Часть 3

Задача 12 Условие ДимДимыч и фиксик Нолик решили устроить дружеское соревнование по бегу. Чтобы уравнять шансы, ДимДимыч поставил фиксика на расстоянии 2 м от финиша, а сам стартовал на 90 м дальше. Нолик бежал изо всех сил, со скоростью 10 фиксиметров в секунду, но ДимДимыч всё равно финишировал на 1 секунду раньше. Через неделю упорных тренировок Нолика друзья повторили забег, но теперь ДимДимыч стартовал на 8 м ближе к фиксику, чем в первый раз. Несмотря на это, Нолик, развив скорость в 12 фиксиметров в секунду, обогнал друга на 1 секунду. Определите, сколько фиксиметров содержится в одном человеческом метре. Дистанция, пробегаемая Ноликом, и скорость ДимДимыча каждый раз была одна и та же. Скорость участников во время бега считать постоянной. Решение 1) 2) Пусть N - количество фиксиметров в одном метре, тогда: $$\vartheta_{Н1} = 10 \frac{ф.м}{с} = \frac{10}{N} \frac{м}{с}$$ $$\vartheta_{Н2} = \frac{12}{N} \frac{м}{с}$$ 2) Рассмотрим первый забег: $$\Delta d_{1Д} = d_{1Н} - d_{1Д} = \frac{2 м \cdot S_{Н1}}{\vartheta_{Н1}} = \frac{2 м \cdot S_{Д1}}{\vartheta_{Д1}}$$ $$1 с = \frac{2 м}{\frac{10}{N}\frac{ м}{ с}} - \frac{92 м}{\vartheta_{Д}} \qquad (1)$$ 3) Второй забег: $$\Delta t_{2Н} = t_{2Д} - t_{2Н} = 1 c$$ $$\Delta t_{2Н} = \frac{S_{Д2}}{\vartheta_{Д}} - \frac{S_{Н2}}{\vartheta_{Н2}} = \frac{84 м}{\vartheta_{Д}} - \frac{2 м}{\frac{12}{N} \frac{м}{с}}$$ $$1 с = \frac{84 м}{\vartheta_{Д}} - \frac{2 м}{\frac{12}{N} \frac{м}{с}} \qquad (2)$$ Уравнения (1) и (2) содержат 2 неизвестных, решим систему этих уравнений: Рассмотрим сначала (1): $$1 = \frac{2N}{10} - \frac{92}{\vartheta_{Д}}$$ $$1 = \frac{N}{5} - \frac{92}{\vartheta_{Д}} | \cdot 5$$ $$5 = N - \frac{92 \cdot 5}{\vartheta_{Д}}$$ $$N = 5 + \frac{92 \cdot 5}{\vartheta_{Д}} \qquad (3)$$ Перейдем теперь к (2): $$1 = \frac{84}{\vartheta_{Д}} - \frac{2}{\frac{12}{N}}$$ $$1 = \frac{84}{\vartheta_{Д}} - \frac{N}{6}|\cdot6$$ $$6 = \frac{84\cdot6}{\vartheta_{Д}} - N$$ $$N = \frac{84\cdot6}{\vartheta_{Д}} - 6 \qquad (4)$$ Приравняем теперь (3) и (4): $$5 + \frac{92 \cdot 5}{\vartheta_{Д}} = \frac{84\cdot6}{\vartheta_{Д}} - 6$$ $$5 + 6 = \frac{84\cdot6}{\vartheta_{Д}} - \frac{92 \cdot 5}{\vartheta_{Д}}$$ $$11 = \frac{44}{\vartheta_{Д}}$$ $$\vartheta_{Д} = \frac{44}{11} = 4 \frac{м}{с}$$ Найдем теперь N: $$N = 5 + \frac{92\cdot5}{4} = 120$$ Ответ 1) 1 м = 120 ф. м; 2) 4 $\frac{м}{с}$ Задача 13 Условие Экспериментатор Иннокентий Иванов поехал на своём автомобиле на дачу. Первую часть пути он двигался со скоростью $\vartheta_2 = 15$ м/с, на втором участке — со скоростью $\vartheta_2 = 600$ м/мин, а на третьем, последнем участке — со скоростью $\vartheta_3 = 60$ км/ч. По подсчётам Иннокентия, на первый участок он затратил треть всего времени своего движения, а длина второго участка была равна трети всего пути. Чему оказалась равна средняя скорость автомобиля на всём пути? Решение Пусть $S$ - весь путь, а $t$ - все время. Приведем скорости к единой размерности км/ч: $$\vartheta_1 = 15 м/с = 54 км/ч$$ $$\vartheta_2 = 600 м/мин = 36 км/ч$$ $$\vartheta_3 = 60 км/ч$$ По условию, $t_1 = t/3$ и $S_2 = S/3$. Из этого следуют соотношения: $$t_2+t_3 = t-t_1 = \frac{2t}{3} \quad (1)$$ $$S_1+S_3 = S-S_2 = \frac{2S}{3} \quad (2)$$ Также используем очевидные равенства: $$S_1 = \vartheta_1 t_1 = \frac{\vartheta_1 t}{3} \quad (3)$$ $$S_3 = \vartheta_3 t_3 \quad (4)$$ $$t_2 = \frac{S_2}{\vartheta_2} = \frac{S}{3\vartheta_2} \quad (5)$$ $$S = \vartheta_{ср}t \quad (6)$$ Подставим (3) и (4) в (2): $$\frac{\vartheta_1 t}{3} + \vartheta_3 t_3 = \frac{2S}{3} \quad (7)$$ Подставим (5) в (1): $$\frac{S}{3\vartheta_2} + t_3 = \frac{2t}{3} \quad (8)$$ Выразим $t_3$ из (8): $$t_3 = \frac{2t}{3} - \frac{S}{3\vartheta_2}$$ Подставим $t_3$ в (7): $$\frac{\vartheta_1 t}{3} + \vartheta_3 \left(\frac{2t}{3} - \frac{S}{3\vartheta_2}\right) = \frac{2S}{3}$$ Теперь подставим $S=\vartheta_{ср}t$ (6) в полученное уравнение: $$\frac{\vartheta_1 t}{3} + \vartheta_3 \left(\frac{2t}{3} - \frac{\vartheta_{ср}t}{3\vartheta_2}\right) = \frac{2\vartheta_{ср}t}{3}$$ Разделим обе части на $t/3$: $$\vartheta_1 + \vartheta_3 \left(2 - \frac{\vartheta_{ср}}{\vartheta_2}\right) = 2\vartheta_{ср}$$ $$\vartheta_1 + 2\vartheta_3 - \frac{\vartheta_3\vartheta_{ср}}{\vartheta_2} = 2\vartheta_{ср}$$ $$\vartheta_1 + 2\vartheta_3 = \vartheta_{ср}\left(2 + \frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}\right)$$ Подставим числовые значения: $$54 + 2 \cdot 60 = \vartheta_{ср}\left(2 + \frac{60}{36}\right)$$ $$174 = \vartheta_{ср}\left(2 + \frac{5}{3}\right) = \vartheta_{ср}\left(\frac{11}{3}\right)$$ $$\vartheta_{ср} = \frac{174 \cdot 3}{11} \approx 47,45 \frac{км}{ч}$$ Ответ 47,45 км/ч.