Средняя путевая скорость Часть 3: Средняя путевая скорость

Задача 12

Условие

ДимДимыч и фиксик Нолик решили устроить дружеское соревнование по бегу. Чтобы уравнять шансы, ДимДимыч поставил фиксика на расстоянии 2 м от финиша, а сам стартовал на 90 м дальше. Нолик бежал изо всех сил, со скоростью 10 фиксиметров в секунду, но ДимДимыч всё равно финишировал на 1 секунду раньше. Через неделю упорных тренировок Нолика друзья повторили забег, но теперь ДимДимыч стартовал на 8 м ближе к фиксику, чем в первый раз. Несмотря на это, Нолик, развив скорость в 12 фиксиметров в секунду, обогнал друга на 1 секунду. Определите, сколько фиксиметров содержится в одном человеческом метре. Дистанция, пробегаемая Ноликом, и скорость ДимДимыча каждый раз была одна и та же. Скорость участников во время бега считать постоянной.

Решение

1)

12 2)

13 Пусть N - количество фиксиметров в одном метре, тогда: \vartheta_{Н1} = 10 \frac{ф.м}{с} = \frac{10}{N} \frac{м}{с} \vartheta_{Н2} = \frac{12}{N} \frac{м}{с}

2) Рассмотрим первый забег: \Delta d_{1Д} = d_{1Н} - d_{1Д} = \frac{2 м \cdot S_{Н1}}{\vartheta_{Н1}} = \frac{2 м \cdot S_{Д1}}{\vartheta_{Д1}} 1 с = \frac{2 м}{\frac{10}{N}\frac{ м}{ с}} - \frac{92 м}{\vartheta_{Д}} \qquad (1)

3) Второй забег: \Delta t_{2Н} = t_{2Д} - t_{2Н} = 1 c \Delta t_{2Н} = \frac{S_{Д2}}{\vartheta_{Д}} - \frac{S_{Н2}}{\vartheta_{Н2}} = \frac{84 м}{\vartheta_{Д}} - \frac{2 м}{\frac{12}{N} \frac{м}{с}} 1 с = \frac{84 м}{\vartheta_{Д}} - \frac{2 м}{\frac{12}{N} \frac{м}{с}} \qquad (2)

Уравнения (1) и (2) содержат 2 неизвестных, решим систему этих уравнений:

Рассмотрим сначала (1): 1 = \frac{2N}{10} - \frac{92}{\vartheta_{Д}} 1 = \frac{N}{5} - \frac{92}{\vartheta_{Д}} | \cdot 5 5 = N - \frac{92 \cdot 5}{\vartheta_{Д}} N = 5 + \frac{92 \cdot 5}{\vartheta_{Д}} \qquad (3) Перейдем теперь к (2): 1 = \frac{84}{\vartheta_{Д}} - \frac{2}{\frac{12}{N}} 1 = \frac{84}{\vartheta_{Д}} - \frac{N}{6}|\cdot6 6 = \frac{84\cdot6}{\vartheta_{Д}} - N N = \frac{84\cdot6}{\vartheta_{Д}} - 6 \qquad (4) Приравняем теперь (3) и (4): 5 + \frac{92 \cdot 5}{\vartheta_{Д}} = \frac{84\cdot6}{\vartheta_{Д}} - 6 5 + 6 = \frac{84\cdot6}{\vartheta_{Д}} - \frac{92 \cdot 5}{\vartheta_{Д}} 11 = \frac{44}{\vartheta_{Д}} \vartheta_{Д} = \frac{44}{11} = 4 \frac{м}{с}

Найдем теперь N: N = 5 + \frac{92\cdot5}{4} = 120

Ответ 1) 1 м = 120 ф. м; 2) 4 \frac{м}{с}

Задача 13

Условие

Экспериментатор Иннокентий Иванов поехал на своём автомобиле на дачу. Первую часть пути он двигался со скоростью \vartheta_2 = 15 м/с, на втором участке — со скоростью \vartheta_2 = 600 м/мин, а на третьем, последнем участке — со скоростью \vartheta_3 = 60 км/ч. По подсчётам Иннокентия, на первый участок он затратил треть всего времени своего движения, а длина второго участка была равна трети всего пути. Чему оказалась равна средняя скорость автомобиля на всём пути?

Решение

14 Пусть S - весь путь, а t - все время. Приведем скорости к единой размерности км/ч: \vartheta_1 = 15 м/с = 54 км/ч \vartheta_2 = 600 м/мин = 36 км/ч \vartheta_3 = 60 км/ч

По условию, t_1 = t/3 и S_2 = S/3 . Из этого следуют соотношения: t_2+t_3 = t-t_1 = \frac{2t}{3} \quad (1) S_1+S_3 = S-S_2 = \frac{2S}{3} \quad (2) Также используем очевидные равенства: S_1 = \vartheta_1 t_1 = \frac{\vartheta_1 t}{3} \quad (3) S_3 = \vartheta_3 t_3 \quad (4) t_2 = \frac{S_2}{\vartheta_2} = \frac{S}{3\vartheta_2} \quad (5) S = \vartheta_{ср}t \quad (6)

Подставим (3) и (4) в (2): \frac{\vartheta_1 t}{3} + \vartheta_3 t_3 = \frac{2S}{3} \quad (7) Подставим (5) в (1): \frac{S}{3\vartheta_2} + t_3 = \frac{2t}{3} \quad (8) Выразим t_3 из (8): t_3 = \frac{2t}{3} - \frac{S}{3\vartheta_2} Подставим t_3 в (7): \frac{\vartheta_1 t}{3} + \vartheta_3 \left(\frac{2t}{3} - \frac{S}{3\vartheta_2}\right) = \frac{2S}{3} Теперь подставим S=\vartheta_{ср}t (6) в полученное уравнение: \frac{\vartheta_1 t}{3} + \vartheta_3 \left(\frac{2t}{3} - \frac{\vartheta_{ср}t}{3\vartheta_2}\right) = \frac{2\vartheta_{ср}t}{3} Разделим обе части на t/3 : \vartheta_1 + \vartheta_3 \left(2 - \frac{\vartheta_{ср}}{\vartheta_2}\right) = 2\vartheta_{ср} \vartheta_1 + 2\vartheta_3 - \frac{\vartheta_3\vartheta_{ср}}{\vartheta_2} = 2\vartheta_{ср} \vartheta_1 + 2\vartheta_3 = \vartheta_{ср}\left(2 + \frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}\right) Подставим числовые значения: 54 + 2 \cdot 60 = \vartheta_{ср}\left(2 + \frac{60}{36}\right) 174 = \vartheta_{ср}\left(2 + \frac{5}{3}\right) = \vartheta_{ср}\left(\frac{11}{3}\right) \vartheta_{ср} = \frac{174 \cdot 3}{11} \approx 47,45 \frac{км}{ч}

Ответ 47,45 км/ч.