Средняя путевая скорость Часть 2

Задача 7 Условие Автомобиль проехал путь S=120 км по дороге, состоящей из двух последовательных участков с различным асфальтным покрытием, за промежуток времени $\Delta t= 2,0$ ч. Первый участок дороги при ремонте был покрыт новым асфальтом, а на втором участке ремонтные работы еще не проводились. Скорость равномерного движения автомобиля на первом участке была выше, чем средняя скорость на всем пути, на $\Delta\vartheta=5,0$ км/ч, а на втором участке скорость равномерного движения автомобиля была на столько же ниже, чем средняя скорость на всем пути. Определите длину первого участка пути. Решение Сначала найдем среднюю скорость на всем пути: $$\vartheta_{ср} = \frac{S}{\Delta t} = \frac{120 км}{2 ч} = 60 км/ч$$ Теперь определим скорости на каждом из участков: $$\vartheta_1 = \vartheta_{ср} + \Delta\vartheta = 60 + 5 = 65 км/ч$$ $$\vartheta_2 = \vartheta_{ср} - \Delta\vartheta = 60 - 5 = 55 км/ч$$ Общее время движения $t$ (здесь $t=\Delta t$) складывается из времени на первом участке $t_1$ и на втором $t_2$, причем $t_2 = t - t_1$. Выразим среднюю скорость через скорости на участках: $$\vartheta_{ср} t = \vartheta_1 t_1 + \vartheta_2 t_2 = \vartheta_1 t_1 + \vartheta_2 (t-t_1)$$ Раскроем скобки и найдем $t_1$: $$\vartheta_{ср} t = \vartheta_1 t_1 + \vartheta_2 t - \vartheta_2 t_1$$ $$t(\vartheta_{ср} - \vartheta_2) = t_1(\vartheta_1 - \vartheta_2)$$ $$t_1 = \frac{t(\vartheta_{ср} - \vartheta_2)}{\vartheta_1 - \vartheta_2}$$ Подставим значения: $$t_1 = \frac{2 ч \cdot (60 - 55) км/ч}{(65-55) км/ч} = \frac{2 \cdot 5}{10} = 1 ч$$ Время движения на втором участке: $t_2 = t - t_1 = 2 - 1 = 1 ч$. Теперь определим длину первого участка пути: $$S_1 = \vartheta_1 \cdot t_1 = 65 \frac{км}{ч} \cdot 1 ч = 65 км$$ Ответ 65 км. Задача 8 Условие В течение первого часа ($\Delta t_1= 1,0$ ч) поезд ехал с постоянной скоростью $\vartheta_1=40$ км/ч. В течение второго часа скорость поезда возросла, и его средняя скорость за два часа ($\Delta t_2=2,0$ ч) составила $\vartheta_{12}=56$ км/ч. После этого скорость поезда еще увеличилась, и его средняя скорость за первые три часа ($\Delta t_3=3,0$ ч) оказалась $\vartheta_{13}=64$ км/ч. Определите среднюю скорость движения поезда на первой половине пути, если в течение каждого часа поезд ехал равномерно. Решение 1) Весь путь поезда $$S = \vartheta_3 \cdot 3 ч = 64 \frac{км}{ч} \cdot 3 ч = 192 км$$ $$\frac{S}{2} = \frac{192 км}{2} = 96 км$$ 2) Для первых двух участков $$\vartheta_1 \cdot 1 ч + \vartheta_2 \cdot 1 ч = \vartheta_{12} \cdot 2 ч$$ Отсюда найдем скорость на втором часу движения $\vartheta_2$: $$40 \frac{км}{ч} \cdot 1 ч + \vartheta_2 \cdot 1 ч = 56 \frac{км}{ч} \cdot 2 ч$$ $$40 км + \vartheta_2 \cdot 1 ч = 112 км$$ $$\vartheta_2 = \frac{112 км - 40 км}{1 ч} = 72 \frac{км}{ч}$$ 3) Найдем время $t_{1/2}$, за которое поезд прошел первую половину пути (96 км). За первый час поезд проехал $S_1 = \vartheta_1 \cdot 1 ч = 40 км$. Оставшаяся часть от первой половины пути: $96 км - 40 км = 56 км$. Это расстояние поезд ехал со скоростью второго часа $\vartheta_2$. Время $t'$ на это: $$t' = \frac{\frac{S}{2}-S_1}{\vartheta_2} = \frac{56 км}{72 км/ч} = \frac{7}{9} ч$$ Общее время на первую половину пути: $$t_{1/2} = 1 ч + t' = \left(1 + \frac{7}{9}\right) ч = \frac{16}{9} ч$$ 4) Средняя скорость на первой половине пути: $$\vartheta_{ср,S/2} = \frac{S/2}{t_{1/2}} = \frac{96 км}{16/9 ч} = 54 \frac{км}{ч}$$ Ответ 54 км/ч. Задача 9 Условие Путешественник проехал на велосипеде первую половину намеченного пути со скоростью $\vartheta_1=20$ км/ч. Второй участок дистанции он прошел пешком со скоростью $\vartheta_2=6$ км/ч, а последний отрезок пути снова проехал на велосипеде со скоростью $\vartheta_3=18$ км/ч. Какова средняя скорость путешественника на всем пути, если второй и третий участки были преодолены им за одинаковые промежутки времени? Решение Пусть $S$ - весь путь. Средняя скорость $\vartheta_{ср} = \frac{S}{t_{общ}}$, где $t_{общ} = t_1+t_2+t_3$. Время на первом участке, составляющем половину пути $S/2$: $$t_1 = \frac{S/2}{\vartheta_1} = \frac{S}{2\vartheta_1}$$ Вторая половина пути $S/2$ состоит из двух участков $S_2$ и $S_3$, т.е. $S_2+S_3 = S/2$. По условию, время их прохождения одинаково: $t_2 = t_3$. Из этого следует, что $$\frac{S_2}{\vartheta_2} = \frac{S_3}{\vartheta_3}$$ $$S_2 = \frac{S_3\vartheta_2}{\vartheta_3}$$ Т.к. $S_2+S_3 = \frac{S}{2}$, то: $$\frac{S_3\vartheta_2}{\vartheta_3} + S_3 =\frac{S}{2}$$ $$S_3 =\frac{S\vartheta_3}{2(\vartheta_2+\vartheta_3)}$$ Подставим $S_3$ в $t_3 = \frac{S_3}{\vartheta_3}$: $$t_3 =\frac{S}{2(\vartheta_2+\vartheta_3)}$$ Тогда: $$\vartheta_{ср} = \frac{S}{t_1+t_2+t_3}$$ Соберем всё вместе: $$ = \frac{S}{\frac{S}{2\vartheta_1}+2\frac{S}{2(\vartheta_2+\vartheta_3)}}=\frac{1}{\frac{1}{2\vartheta_1}+\frac{1}{(\vartheta_2+\vartheta_3)}} = \frac{2\vartheta_1(\vartheta_2+\vartheta_3)}{2\vartheta_1 + \vartheta_2 + \vartheta_3}$$ Подставим числовые значения: $$\vartheta_{ср} = \frac{2 \cdot 20 (6 + 18)}{2\cdot 20 + 6 + 18} = 15 \frac{км}{ч}$$ Ответ...