Средняя путевая скорость Часть 2: Средняя путевая скорость

Задача 7

Условие

Автомобиль проехал путь S=120 км по дороге, состоящей из двух последовательных участков с различным асфальтным покрытием, за промежуток времени \Delta t= 2,0 ч. Первый участок дороги при ремонте был покрыт новым асфальтом, а на втором участке ремонтные работы еще не проводились. Скорость равномерного движения автомобиля на первом участке была выше, чем средняя скорость на всем пути, на \Delta\vartheta=5,0 км/ч, а на втором участке скорость равномерного движения автомобиля была на столько же ниже, чем средняя скорость на всем пути. Определите длину первого участка пути.

Решение

7 Сначала найдем среднюю скорость на всем пути: \vartheta_{ср} = \frac{S}{\Delta t} = \frac{120 км}{2 ч} = 60 км/ч

Теперь определим скорости на каждом из участков: \vartheta_1 = \vartheta_{ср} + \Delta\vartheta = 60 + 5 = 65 км/ч \vartheta_2 = \vartheta_{ср} - \Delta\vartheta = 60 - 5 = 55 км/ч

Общее время движения t (здесь t=\Delta t ) складывается из времени на первом участке t_1 и на втором t_2 , причем t_2 = t - t_1 . Выразим среднюю скорость через скорости на участках: \vartheta_{ср} t = \vartheta_1 t_1 + \vartheta_2 t_2 = \vartheta_1 t_1 + \vartheta_2 (t-t_1) Раскроем скобки и найдем t_1 : \vartheta_{ср} t = \vartheta_1 t_1 + \vartheta_2 t - \vartheta_2 t_1 t(\vartheta_{ср} - \vartheta_2) = t_1(\vartheta_1 - \vartheta_2) t_1 = \frac{t(\vartheta_{ср} - \vartheta_2)}{\vartheta_1 - \vartheta_2} Подставим значения: t_1 = \frac{2 ч \cdot (60 - 55) км/ч}{(65-55) км/ч} = \frac{2 \cdot 5}{10} = 1 ч Время движения на втором участке: t_2 = t - t_1 = 2 - 1 = 1 ч .

Теперь определим длину первого участка пути: S_1 = \vartheta_1 \cdot t_1 = 65 \frac{км}{ч} \cdot 1 ч = 65 км

Ответ 65 км.

Задача 8

Условие

В течение первого часа ( \Delta t_1= 1,0 ч) поезд ехал с постоянной скоростью \vartheta_1=40 км/ч. В течение второго часа скорость поезда возросла, и его средняя скорость за два часа ( \Delta t_2=2,0 ч) составила \vartheta_{12}=56 км/ч. После этого скорость поезда еще увеличилась, и его средняя скорость за первые три часа ( \Delta t_3=3,0 ч) оказалась \vartheta_{13}=64 км/ч. Определите среднюю скорость движения поезда на первой половине пути, если в течение каждого часа поезд ехал равномерно.

Решение

1) Весь путь поезда S = \vartheta_3 \cdot 3 ч = 64 \frac{км}{ч} \cdot 3 ч = 192 км \frac{S}{2} = \frac{192 км}{2} = 96 км

2) Для первых двух участков

\vartheta_1 \cdot 1 ч + \vartheta_2 \cdot 1 ч = \vartheta_{12} \cdot 2 ч Отсюда найдем скорость на втором часу движения \vartheta_2 : 40 \frac{км}{ч} \cdot 1 ч + \vartheta_2 \cdot 1 ч = 56 \frac{км}{ч} \cdot 2 ч 40 км + \vartheta_2 \cdot 1 ч = 112 км \vartheta_2 = \frac{112 км - 40 км}{1 ч} = 72 \frac{км}{ч}

3) Найдем время t_{1/2} , за которое поезд прошел первую половину пути (96 км). За первый час поезд проехал S_1 = \vartheta_1 \cdot 1 ч = 40 км . Оставшаяся часть от первой половины пути: 96 км - 40 км = 56 км . Это расстояние поезд ехал со скоростью второго часа \vartheta_2 . Время t' на это: t' = \frac{\frac{S}{2}-S_1}{\vartheta_2} = \frac{56 км}{72 км/ч} = \frac{7}{9} ч Общее время на первую половину пути: t_{1/2} = 1 ч + t' = \left(1 + \frac{7}{9}\right) ч = \frac{16}{9} ч

4) Средняя скорость на первой половине пути: \vartheta_{ср,S/2} = \frac{S/2}{t_{1/2}} = \frac{96 км}{16/9 ч} = 54 \frac{км}{ч}

Ответ 54 км/ч.

Задача 9

Условие

Путешественник проехал на велосипеде первую половину намеченного пути со скоростью \vartheta_1=20 км/ч. Второй участок дистанции он прошел пешком со скоростью \vartheta_2=6 км/ч, а последний отрезок пути снова проехал на велосипеде со скоростью \vartheta_3=18 км/ч. Какова средняя скорость путешественника на всем пути, если второй и третий участки были преодолены им за одинаковые промежутки времени?

Решение

8 Пусть S - весь путь. Средняя скорость \vartheta_{ср} = \frac{S}{t_{общ}} , где t_{общ} = t_1+t_2+t_3 .

Время на первом участке, составляющем половину пути S/2 : t_1 = \frac{S/2}{\vartheta_1} = \frac{S}{2\vartheta_1}

Вторая половина пути S/2 состоит из двух участков S_2 и S_3 , т.е. S_2+S_3 = S/2 .

По условию, время их прохождения одинаково: t_2 = t_3 . Из этого следует, что \frac{S_2}{\vartheta_2} = \frac{S_3}{\vartheta_3} S_2 = \frac{S_3\vartheta_2}{\vartheta_3}

Т.к. S_2+S_3 = \frac{S}{2} , то: \frac{S_3\vartheta_2}{\vartheta_3} + S_3 =\frac{S}{2} S_3 =\frac{S\vartheta_3}{2(\vartheta_2+\vartheta_3)}

Подставим S_3 в t_3 = \frac{S_3}{\vartheta_3} :

t_3 =\frac{S}{2(\vartheta_2+\vartheta_3)} Тогда: \vartheta_{ср} = \frac{S}{t_1+t_2+t_3}

Соберем всё вместе: = \frac{S}{\frac{S}{2\vartheta_1}+2\frac{S}{2(\vartheta_2+\vartheta_3)}}=\frac{1}{\frac{1}{2\vartheta_1}+\frac{1}{(\vartheta_2+\vartheta_3)}} = \frac{2\vartheta_1(\vartheta_2+\vartheta_3)}{2\vartheta_1 + \vartheta_2 + \vartheta_3}

Подставим числовые значения: \vartheta_{ср} = \frac{2 \cdot 20 (6 + 18)}{2\cdot 20 + 6 + 18} = 15 \frac{км}{ч}

Ответ 15 км/ч.