Относительное движение Часть 2: Относительное движение

Задача 7

Условие

Дед Макар, наблюдая за тем, как бочка постоянного сечения наполняется водой во время дождя, занёс в таблицу зависимость уровня h воды в бочке от времени t . В тот момент, когда дождь закончился, уровень воды в бочке составил 80 см. Изучая затем таблицу, дед вспомнил, что в момент времени t_1 = 9 мин он включил насос, лежащий в бочке, который с постоянной скоростью откачивал воду. Помогите ему проанализировать эти данные.

Определите время t после окончания дождя, за которое уровень воды опустится за счёт дальнейшей работы насоса с высоты 80 см до высоты 40 см;

Определите объём воды V , который находился в бочке в момент времени t_2 = 4,5 мин, если площадь сечения бочки S = 5400 см²;

Определите объём q дождевой воды, которая попадала в бочку за одну минуту.

7 Решение

а) С 0 до 9 мин (до включения насоса) бочка наполняется дождем. Найдем скорость наполнения: \vartheta_{зап дождем} = \frac{40 см}{9 мин} \approx 4,4 \frac{см}{мин}

б) С 9 мин до 18 мин (уровень поднялся с 40 до 60 см) дождь продолжал идти, но уже работал насос. За этот промежуток времени (9 мин) уровень поднялся на 20 см. Скорость подъема уровня: \vartheta_{зап} = \frac{20 см}{9 мин} Эта скорость является разностью между скоростью наполнения дождем и скоростью откачки насосом: \vartheta_{зап} = \vartheta_{зап дождем} - \vartheta_{откач насосом} \frac{20}{9} = \frac{40}{9} - \vartheta_{откач насосом} \vartheta_{откач насосом} = \frac{40}{9} - \frac{20}{9} = \frac{20}{9} \frac{см}{мин}

1) Определение времени откачки Нужно опустить уровень на \Delta h = 80 - 40 = 40 см. Дождь уже закончился, работает только насос. \Delta t_1 = \frac{\Delta h}{\vartheta_{откач насосом}} = \frac{40 см}{20/9 см/мин} = \frac{40 \cdot 9}{20} мин = 18 мин

2) Определение объема в 4,5 мин В момент времени \Delta t_2 = 4,5 мин насос еще не включен. Уровень воды: \Delta h_2 = \vartheta_{зап дождем} \cdot \Delta t_2 = \frac{40 см}{9 мин} \cdot 4,5 мин = 20 см Объем воды: V_2 = S \cdot \Delta h_2 = 5400 см^2 \cdot 20 см = 108000 см^3 = 108 л

3) Определение объема дождевой воды за минуту q = S \cdot \vartheta_{зап дождем} \cdot 1 мин = 5400 см^2 \cdot \frac{40 см}{9 мин} \cdot 1 мин = 24000 см^3 = 24 л

Ответ 18 мин; 108 л; 24 л.