Средняя путевая скорость Часть 1

Задача 1 Условие Как-то летом Карлсон полетел навестить свою бабушку. Первую половину своего пути он пролетел со скоростью 30 км/ч. Затем Карлсон устал и сел перекусить. Хорошенько подкрепившись, он полетел дальше и преодолел остаток пути со скоростью 750 м/мин. Какую долю от времени своего путешествия Карлсон перекусывал, если его средняя скорость на всём пути составила 7,5 м/с? Решение Пусть S - весь путь. $$\vartheta_{ср}= 7,5 м/с = 27 км/ч$$ $$t = \frac{S}{\vartheta_{ср}}$$ $$t = t_1 + t_2 + t_3$$ $$t_2 = t - t_1 - t_3$$ $$t_2 = t - \frac{S}{2\vartheta_1} - \frac{S}{2\vartheta_3} |:t $$ $$\frac{t_2}{t} = 1 - \frac{S}{2\vartheta_1t} - \frac{S}{2\vartheta_3t} $$ $$\frac{t_2}{t} = 1 - \frac{\vartheta_{ср}}{2\vartheta_1} - \frac{\vartheta_{ср}}{2\vartheta_3}$$ $$\frac{t_2}{t} = 1 - \frac{27}{2\cdot 30} - \frac{27}{2 \cdot 45} = \frac{1}{4}$$ Ответ $\frac{1}{4}$. Задача 2 Условие Кот Леопольд купил себе новый велосипед и поехал на нем кататься. 5-ю часть своего пути он проехал со скоростью 5 м/с, первую половину оставшегося пути со скоростью 16 км/ч, последний участок - со скоростью 400 м/мин. Найдите среднюю скорость движения кота Леопольда на всем пути. Решение Пусть S - весь путь, t - все время. Сначала приведем все скорости к единой размерности км/ч. $$\vartheta_1 = 5 м/с = 18 км/ч$$ $$\vartheta_2 = 16 км/ч$$ $$\vartheta_3 = 400 м/мин = \frac{0,4 км}{1/60 ч} = 24 км/ч$$ Определим участки пути: $$S_1 = \frac{S}{5}$$ Оставшийся путь: $S - S_1 = \frac{4S}{5}$. $$S_2 = S_3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4S}{5} = \frac{2S}{5}$$ Общее время движения: $$t = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{S_1}{\vartheta_1} + \frac{S_2}{\vartheta_2} + \frac{S_3}{\vartheta_3}$$ $$t = \frac{S/5}{\vartheta_1} + \frac{2S/5}{\vartheta_2} + \frac{2S/5}{\vartheta_3} = \frac{S}{5} \left( \frac{1}{\vartheta_1} + \frac{2}{\vartheta_2} + \frac{2}{\vartheta_3} \right)$$ Средняя скорость: $$\vartheta_{ср} = \frac{S}{t} = \frac{S}{\frac{S}{5} \left( \frac{1}{\vartheta_1} + \frac{2}{\vartheta_2} + \frac{2}{\vartheta_3} \right)} = \frac{5}{\frac{1}{\vartheta_1} + \frac{2}{\vartheta_2} + \frac{2}{\vartheta_3}}$$ $$\vartheta_{ср} = \frac{5}{\frac{1}{18} + \frac{2}{16} + \frac{2}{24}} \approx \frac{5}{0,0556 + 0,125 + 0,0833} = \frac{5}{0,2639} \approx 19 км/ч$$ Ответ $19 км/ч$. Задача 3 Условие Турист первую треть всего времени шёл по грунтовой дороге со скоростью $\vartheta_1=2$ км/ч, затем треть всего пути перемещался по шоссе со скоростью $\vartheta_2$. В конце второго участка пути он встретил грузовик, на котором и вернулся в исходную точку по той же дороге. Известно, что на грузовике он ехал с постоянной скоростью $\vartheta_3$. Вычислите среднюю (путевую) скорость туриста $\vartheta_{ср}$. Решение Пусть $t$ — полное время движения, а $S_{пути}$ — весь путь, пройденный туристом (туда и обратно). Обозначим $S = S_1 + S_2$ как расстояние от исходной точки до места встречи с грузовиком. Тогда весь путь $S_{пути} = 2S = 2(S_1 + S_2)$. Из условия известно, что время движения по грунтовой дороге $t_1$ составляет треть всего времени: $$t_1 = \frac{t}{3} \implies t = 3t_1$$ Также по условию, путь по шоссе $S_2$ составляет треть всего пути ($S_{пути}$): $$S_2 = \frac{1}{3} S_{пути} = \frac{2S}{3} = \frac{2(S_1+S_2)}{3}$$ Решим это уравнение для нахождения связи между $S_1$ и $S_2$: $$3S_2 = 2S_1 + 2S_2 \implies S_2 = 2S_1$$ Теперь найдем среднюю путевую скорость туриста $\vartheta_{ср}$: $$\vartheta_{ср} = \frac{S_{пути}}{t} = \frac{2(S_1+S_2)}{3t_1}$$ Подставим в это уравнение найденное соотношение $S_2 = 2S_1$: $$\vartheta_{ср} = \frac{2(S_1+2S_1)}{3t_1} = \frac{2 \cdot 3S_1}{3t_1} = \frac{2S_1}{t_1}$$ Поскольку $\frac{S_1}{t_1}$ есть не что иное, как скорость на первом участке $\vartheta_1 = 2$ км/ч, то: $$\vartheta_{ср} = 2 \cdot \vartheta_1 = 2 \cdot 2 = 4 км/ч$$ Ответ 4 км/ч. Задача 4 Условие Расстояние от школы до дома экспериментатора Глюка равно L=4 км. Это расстояние он преодолевает за $t_0=16$ мин. Сначала он идёт до автобусной остановки пешком, потом едет на автобусе со средней скоростью $\vartheta_2=51$ км/ч и затем идёт пешком ещё некоторое время. Скорость Глюка пешком составляет 20 Решение Можно сразу найти среднюю скорость: $$\vartheta_{ср} = \frac{L}{t_0} = \frac{4 км}{\frac{16}{60} ч} = \frac{4 км \cdot 60}{16 ч} = 15 \frac{км}{ч}$$ Весь путь L равен сумме пути пешком и пути на автобусе: $$L = (путь пешком) + (путь на автобусе)$$ Обозначим время пешком как $t_{п}$, а время на автобусе как $t_2$. $$L = \vartheta_{п} \cdot t_{п} + \vartheta_2 \cdot t_2$$ Скорость пешком равна $\vartheta_{п} = 0,2\vartheta_{ср}$. $$L = 0,2\vartheta_{ср} \cdot t_{п} + \vartheta_2 \cdot t_2$$ Общее время $t_0 = t_{п} + t_2$, откуда $t_{п} = t_0 - t_2$. Подставим это в формулу пути: $$L = 0,2\vartheta_{ср}(t_0 - t_2) + \vartheta_2 t_2$$ $$L = 0,2\vartheta_{ср}t_0 - 0,2\vartheta_{ср}t_2 + \vartheta_2 t_2$$ $$L = 0,2\vartheta_{ср} t_0 - t_2(0,2\vartheta_{ср}-\vartheta_2)$$ $$t_2(0,2\vartheta_{ср}-\vartheta_2) = 0,2 \vartheta_{ср}t_0 - L$$ $$t_2 = \frac{0,2 \vartheta_{ср...