Средняя путевая скорость Часть 1: Средняя путевая скорость

Задача 1

Условие

Как-то летом Карлсон полетел навестить свою бабушку. Первую половину своего пути он пролетел со скоростью 30 км/ч. Затем Карлсон устал и сел перекусить. Хорошенько подкрепившись, он полетел дальше и преодолел остаток пути со скоростью 750 м/мин. Какую долю от времени своего путешествия Карлсон перекусывал, если его средняя скорость на всём пути составила 7,5 м/с?

Решение

1 Пусть S - весь путь. \vartheta_{ср}= 7,5 м/с = 27 км/ч t = \frac{S}{\vartheta_{ср}} t = t_1 + t_2 + t_3 t_2 = t - t_1 - t_3 t_2 = t - \frac{S}{2\vartheta_1} - \frac{S}{2\vartheta_3} |:t \frac{t_2}{t} = 1 - \frac{S}{2\vartheta_1t} - \frac{S}{2\vartheta_3t} \frac{t_2}{t} = 1 - \frac{\vartheta_{ср}}{2\vartheta_1} - \frac{\vartheta_{ср}}{2\vartheta_3} \frac{t_2}{t} = 1 - \frac{27}{2\cdot 30} - \frac{27}{2 \cdot 45} = \frac{1}{4}

Ответ \frac{1}{4} .

Задача 2

Условие

Кот Леопольд купил себе новый велосипед и поехал на нем кататься. 5-ю часть своего пути он проехал со скоростью 5 м/с, первую половину оставшегося пути со скоростью 16 км/ч, последний участок - со скоростью 400 м/мин. Найдите среднюю скорость движения кота Леопольда на всем пути.

Решение

2 Пусть S - весь путь, t - все время. Сначала приведем все скорости к единой размерности км/ч. \vartheta_1 = 5 м/с = 18 км/ч \vartheta_2 = 16 км/ч \vartheta_3 = 400 м/мин = \frac{0,4 км}{1/60 ч} = 24 км/ч

Определим участки пути: S_1 = \frac{S}{5} Оставшийся путь: S - S_1 = \frac{4S}{5} . S_2 = S_3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4S}{5} = \frac{2S}{5}

Общее время движения: t = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{S_1}{\vartheta_1} + \frac{S_2}{\vartheta_2} + \frac{S_3}{\vartheta_3} t = \frac{S/5}{\vartheta_1} + \frac{2S/5}{\vartheta_2} + \frac{2S/5}{\vartheta_3} = \frac{S}{5} \left( \frac{1}{\vartheta_1} + \frac{2}{\vartheta_2} + \frac{2}{\vartheta_3} \right)

Средняя скорость: \vartheta_{ср} = \frac{S}{t} = \frac{S}{\frac{S}{5} \left( \frac{1}{\vartheta_1} + \frac{2}{\vartheta_2} + \frac{2}{\vartheta_3} \right)} = \frac{5}{\frac{1}{\vartheta_1} + \frac{2}{\vartheta_2} + \frac{2}{\vartheta_3}} \vartheta_{ср} = \frac{5}{\frac{1}{18} + \frac{2}{16} + \frac{2}{24}} \approx \frac{5}{0,0556 + 0,125 + 0,0833} = \frac{5}{0,2639} \approx 19 км/ч

Ответ 19 км/ч .

Задача 3

Условие

Турист первую треть всего времени шёл по грунтовой дороге со скоростью \vartheta_1=2 км/ч, затем треть всего пути перемещался по шоссе со скоростью \vartheta_2 . В конце второго участка пути он встретил грузовик, на котором и вернулся в исходную точку по той же дороге. Известно, что на грузовике он ехал с постоянной скоростью \vartheta_3 . Вычислите среднюю (путевую) скорость туриста \vartheta_{ср} .

Решение

4 Пусть t — полное время движения, а S_{пути} — весь путь, пройденный туристом (туда и обратно). Обозначим S = S_1 + S_2 как расстояние от исходной точки до места встречи с грузовиком. Тогда весь путь S_{пути} = 2S = 2(S_1 + S_2) .

Из условия известно, что время движения по грунтовой дороге t_1 составляет треть всего времени: t_1 = \frac{t}{3} \implies t = 3t_1

Также по условию, путь по шоссе S_2 составляет треть всего пути ( S_{пути} ): S_2 = \frac{1}{3} S_{пути} = \frac{2S}{3} = \frac{2(S_1+S_2)}{3} Решим это уравнение для нахождения связи между S_1 и S_2 : 3S_2 = 2S_1 + 2S_2 \implies S_2 = 2S_1

Теперь найдем среднюю путевую скорость туриста \vartheta_{ср} : \vartheta_{ср} = \frac{S_{пути}}{t} = \frac{2(S_1+S_2)}{3t_1} Подставим в это уравнение найденное соотношение S_2 = 2S_1 : \vartheta_{ср} = \frac{2(S_1+2S_1)}{3t_1} = \frac{2 \cdot 3S_1}{3t_1} = \frac{2S_1}{t_1} Поскольку \frac{S_1}{t_1} есть не что иное, как скорость на первом участке \vartheta_1 = 2 км/ч, то: \vartheta_{ср} = 2 \cdot \vartheta_1 = 2 \cdot 2 = 4 км/ч

Ответ 4 км/ч.

Задача 4

Условие

Расстояние от школы до дома экспериментатора Глюка равно L=4 км. Это расстояние он преодолевает за t_0=16 мин. Сначала он идёт до автобусной остановки пешком, потом едет на автобусе со средней скоростью \vartheta_2=51 км/ч и затем идёт пешком ещё некоторое время. Скорость Глюка пешком составляет 20

Решение

Можно сразу найти среднюю скорость: \vartheta_{ср} = \frac{L}{t_0} = \frac{4 км}{\frac{16}{60} ч} = \frac{4 км \cdot 60}{16 ч} = 15 \frac{км}{ч}

Весь путь L равен сумме пути пешком и пути на автобусе: L = (путь пешком) + (путь на автобусе) Обозначим время пешком как t_{п} , а время на автобусе как t_2 . L = \vartheta_{п} \cdot t_{п} + \vartheta_2 \cdot t_2 Скорость пешком равна \vartheta_{п} = 0,2\vartheta_{ср} . L = 0,2\vartheta_{ср} \cdot t_{п} + \vartheta_2 \cdot t_2 Общее время t_0 = t_{п} + t_2 , откуда t_{п} = t_0 - t_2 .

Подставим это в формулу пути: L = 0,2\vartheta_{ср}(t_0 - t_2) + \vartheta_2 t_2 L = 0,2\vartheta_{ср}t_0 - 0,2\vartheta_{ср}t_2 + \vartheta_2 t_2 L = 0,2\vartheta_{ср} t_0 - t_2(0,2\vartheta_{ср}-\vartheta_2) t_2(0,2\vartheta_{ср}-\vartheta_2) = 0,2 \vartheta_{ср}t_0 - L t_2 = \frac{0,2 \vartheta_{ср}t_0 - L}{0,2\vartheta_{ср}-\vartheta_2}

Подставим числовые значения, не забывая перевести время t_0 в часы ( 16 мин = 16/60 ч ): t_2 = \frac{0,2 \cdot 15 \cdot \frac{16}{60} - 4}{0,2 \cdot 15 - 51} = \frac{3 \cdot \frac{16}{60} - 4}{3 - 51} = \frac{\frac{48}{60} - 4}{-48} = \frac{0,8 - 4}{48} = \frac{-3,2}{-48} ч t_2 = \frac{3,2}{48} ч = \frac{1}{15} ч Переведем время в минуты: t_2 = \frac{1}{15} \cdot 60 = 4 мин

Ответ 4 мин.