Графики Часть 2: Графики

Задача 6

Условие

Было жаркое лето. Нюша рассматривала в импортных журналах картинки отдыха «all inclusive» с бассейнами, шезлонгами и зонтиками. Так или иначе, она уговорила друзей на открытом живописном пригорке выкопать бассейн. Но что толку от бассейна, если в нём нет воды! Крош и Бараш поставили на телегу бочку и направились к речке, а Нюша, узнав, что расстояние L от бассейна до речки в 1,25 раз больше, чем расстояние l от бассейна до ручья, схватила ведёрко и побежала к ручью. Крош и Бараш наполнили из речки бочку, а Нюша зачерпнула из ручья воду в ведёрко, и они одновременно в момент времени t = 0 направились к бассейну. Вылив ведерко в бассейн, Нюша утомилась, и ее сменил Ёжик. Он передвигался к ручью медленнее Нюши. График зависимости координаты от времени для каждого из друзей показан на рисунке. Определите, во сколько раз скорость \vartheta_2 Ёжика была больше скорости \vartheta_1 Кроша и Бараша.

19 Теория

20 \Delta r_x = v_x t x = x_0 + \Delta rx x = x_0 + v_x t v_x>0 - если по оси v_x<0 - если против оси

Решение

21 Пусть в 0 – бассейн; L – от бассейна до реки; l – от бассейна до ручья L = 1,25 l \rightarrow l = \frac{L}{1,25} Крош x_{0K} = L x_K = 0; t = 5T x_K = x_{0K} - \vartheta_{xK} \cdot t_K 0 = x_{0K} - \vartheta_{xK} \cdot t_K \vartheta_{xK} \cdot 5T = x_{0K} \vartheta_{xK} = \frac{x_{0K}}{5T} = \frac{L}{5T} Ежик x_{0E} = l x_E = 0; t = 2T x_E = x_{0E} - \vartheta_{xE} \cdot t_E 0 = x_{0E} - \vartheta_{xE} \cdot t_E 0 = l - \vartheta_{xE} \cdot 2T \vartheta_{xE} \cdot 2T = l \vartheta_{xE} = \frac{l}{2T} = \frac{L}{1,25 \cdot 2T} \vartheta_{xE} = \frac{L}{2,5T} \frac{\vartheta_{xE}}{\vartheta_{xK}} = \frac{\frac{L}{2,5T}}{\frac{L}{5T}} = 2 раза

Ответ в 2 раза

Задача 7

Условие

Семиклассник Стас тренируется бегать на длинные дистанции. Во время пробежки смартфон следит за положением Стаса при помощи сигнала GPS и рассчитывает темп бега T в минутах на километр. После окончания пробежки смартфон показывает график зависимости темпа бега от расстояния s, которое пробежал спортсмен с момента старта (см. рисунок). С помощью графика этой зависимости определите:

1. Чему равнялись максимальная и минимальная скорости во время пробежки? Выразите эти скорости в километрах в час.

2. За какое минимальное время Стас пробегал участок длиной в один километр? Участок может начинаться в любой части дистанции.

3. За какое минимальное время Стас пробегал участок длиной в пять километров? Участок может начинаться в любой части дистанции.

8 Решение

1) Темп бега – величина обратная скорости \vartheta = \frac{1км}{1ч} \rightarrow T = \frac{1ч}{1км} \rightarrow чем меньше T, тем больше \vartheta \vartheta = \frac{1}{T} Из графика: T_{min} = \frac{3мин}{1км} \vartheta_{max} = \frac{1км}{3мин} = \frac{1км}{3/60 ч} = \frac{60км}{3ч} = 20 \frac{км}{ч} T_{max} = \frac{6мин}{1км} \vartheta_{min} = \frac{1км}{6мин} = \frac{1км}{6/60 ч} = \frac{60км}{6ч} = 10 \frac{км}{ч}

2) t = \frac{S}{\vartheta} \rightarrow t = ST \rightarrow графически в системе T(S) \rightarrow Время движения пропорционально площади фигуры под графиком

t_{1min} , если S_1 = 1 км c 3-го по 4-ый километры (площадь min) t_{min} = \frac{3 + 4}{2} \frac{мин}{км} 1км = \frac{7}{2} мин = 3,5 мин

3) t_{2min} , если S_2 = 5 км c 1-го по 6-ый километры (площадь min) t_{2min} = \left[\frac{5 + 4}{2} \cdot 1\right] + 4 \cdot 1 + \left[\frac{3 + 5}{2} \cdot 2\right] + 5 \cdot 1 = = 4,5 + 4 + 8 + 5 = 21,5 мин

Ответ 20 км/ч, 10 км/ч; 3,5 мин, 21,5 мин