Относительное движение Часть 1: Относительное движение

Задача 1

Условие

Из Санкт-Петербурга в сторону Москвы с интервалом в 10 мин вышли два электропоезда со скоростью 54 км/ч. Какую скорость имел встречный поезд, если он повстречал эти поезда через 4 мин один после другого?

Решение

1 Пусть \vartheta_{эл} = 54 км/ч — скорость электропоездов, а \vartheta_{п} — скорость встречного поезда. Интервал времени между выходом электропоездов \Delta t_{эл} = 10 мин = \frac{1}{6} ч. За это время первый электропоезд успевает отъехать на расстояние S_{эл} до выхода второго: S_{эл} = \vartheta_{эл} \cdot \Delta t_{эл} = 54 \frac{км}{ч} \cdot \frac{1}{6} ч = 9 км Это расстояние между двумя электропоездами.

Встречный поезд встречает эти два поезда с интервалом времени t_{сбл} = 4 мин = \frac{1}{15} ч. За это время он, двигаясь навстречу второму электропоезду, должен покрыть расстояние S_{эл} , которое их разделяло. Их скорость сближения равна \vartheta_{сбл} = \vartheta_{эл} + \vartheta_{п} . S_{эл} = \vartheta_{сбл} \cdot t_{сбл} 9 км = (\vartheta_{эл} + \vartheta_{п}) \cdot t_{сбл} 9 км = (54 \frac{км}{ч} + \vartheta_{п}) \cdot \frac{1}{15} ч 9 \cdot 15 = 54 + \vartheta_{п} 135 = 54 + \vartheta_{п} \vartheta_{п} = 135 - 54 = 81 \frac{км}{ч}

Ответ 81 \frac{км}{ч} .

Задача 2

Условие

По шоссе равномерно и прямолинейно движется длинная колонна автомобилей. Расстояния между соседними автомобилями одинаковы. Движущийся в том же направлении мотоциклист обнаружил, что если модуль его скорости равномерного движения \vartheta_1 = 36 км/ч (10 м/с), то через каждый промежуток времени \Delta t_1 = 10 с его обгоняет автомобиль из колонны, а при равномерном движении со скоростью, модуль которой \vartheta_2 = 90 км/ч (25 м/с), через каждый промежуток времени \Delta t_2 = 20 с он обгоняет автомобиль из колонны. Если мотоциклист остановится, то автомобили из колонны будут проезжать мимо него через промежутки времени \Delta t , равные ... с.

Решение

Пусть u — скорость авто в колонне, а l — расстояние между авто в колонне.

Когда мотоциклист движется медленнее колонны, его обгоняют. Время между обгонами зависит от относительной скорости. \Delta t_1 = \frac{l}{u - \vartheta_1} \quad (1) Когда мотоциклист движется быстрее колонны, он сам обгоняет. \Delta t_2 = \frac{l}{\vartheta_2 - u} \quad (2) Из этих уравнений можно выразить l : l = \Delta t_1 (u - \vartheta_1) \quad и \quad l = \Delta t_2 (\vartheta_2 - u) Приравняем правые части: \Delta t_1 (u - \vartheta_1) = \Delta t_2 (\vartheta_2 - u) \Delta t_1 u - \Delta t_1 \vartheta_1 = \Delta t_2 \vartheta_2 - \Delta t_2 u u(\Delta t_1 + \Delta t_2) = \vartheta_1 \Delta t_1 + \vartheta_2 \Delta t_2 u = \frac{\vartheta_1 \Delta t_1 + \vartheta_2 \Delta t_2}{\Delta t_1 + \Delta t_2} Подставим числовые значения в м/с: u = \frac{10 \frac{м}{с} \cdot 10 с + 25 \frac{м}{с} \cdot 20 с}{10 с + 20 с} = \frac{100 + 500}{30} \frac{м}{с} = \frac{600}{30} = 20 \frac{м}{с} Теперь найдем расстояние l : l = (u - \vartheta_1)\Delta t_1 = (20 \frac{м}{с} - 10 \frac{м}{с}) \cdot 10 с = 100 м Если мотоциклист остановится ( \vartheta_3=0 ), то время \Delta t между проезжающими мимо автомобилями будет: \Delta t = \frac{l}{u} = \frac{100 м}{20 м/с} = 5 с

Ответ 5с.