Относительное движение Часть 1

Задача 1 Условие Из Санкт-Петербурга в сторону Москвы с интервалом в 10 мин вышли два электропоезда со скоростью 54 км/ч. Какую скорость имел встречный поезд, если он повстречал эти поезда через 4 мин один после другого? Решение Пусть $\vartheta_{эл} = 54$ км/ч — скорость электропоездов, а $\vartheta_{п}$ — скорость встречного поезда. Интервал времени между выходом электропоездов $\Delta t_{эл} = 10 мин = \frac{1}{6}$ ч. За это время первый электропоезд успевает отъехать на расстояние $S_{эл}$ до выхода второго: $$ S_{эл} = \vartheta_{эл} \cdot \Delta t_{эл} = 54 \frac{км}{ч} \cdot \frac{1}{6} ч = 9 км $$ Это расстояние между двумя электропоездами. Встречный поезд встречает эти два поезда с интервалом времени $t_{сбл} = 4 мин = \frac{1}{15}$ ч. За это время он, двигаясь навстречу второму электропоезду, должен покрыть расстояние $S_{эл}$, которое их разделяло. Их скорость сближения равна $\vartheta_{сбл} = \vartheta_{эл} + \vartheta_{п}$. $$ S_{эл} = \vartheta_{сбл} \cdot t_{сбл} $$ $$ 9 км = (\vartheta_{эл} + \vartheta_{п}) \cdot t_{сбл} $$ $$ 9 км = (54 \frac{км}{ч} + \vartheta_{п}) \cdot \frac{1}{15} ч $$ $$ 9 \cdot 15 = 54 + \vartheta_{п} $$ $$ 135 = 54 + \vartheta_{п} $$ $$ \vartheta_{п} = 135 - 54 = 81 \frac{км}{ч} $$ Ответ $81 \frac{км}{ч}$. Задача 2 Условие По шоссе равномерно и прямолинейно движется длинная колонна автомобилей. Расстояния между соседними автомобилями одинаковы. Движущийся в том же направлении мотоциклист обнаружил, что если модуль его скорости равномерного движения $\vartheta_1 = 36$ км/ч (10 м/с), то через каждый промежуток времени $\Delta t_1 = 10$ с его обгоняет автомобиль из колонны, а при равномерном движении со скоростью, модуль которой $\vartheta_2 = 90$ км/ч (25 м/с), через каждый промежуток времени $\Delta t_2 = 20$ с он обгоняет автомобиль из колонны. Если мотоциклист остановится, то автомобили из колонны будут проезжать мимо него через промежутки времени $\Delta t$, равные ... с. Решение Пусть $u$ — скорость авто в колонне, а $l$ — расстояние между авто в колонне. Когда мотоциклист движется медленнее колонны, его обгоняют. Время между обгонами зависит от относительной скорости. $$ \Delta t_1 = \frac{l}{u - \vartheta_1} \quad (1) $$ Когда мотоциклист движется быстрее колонны, он сам обгоняет. $$ \Delta t_2 = \frac{l}{\vartheta_2 - u} \quad (2) $$ Из этих уравнений можно выразить $l$: $$ l = \Delta t_1 (u - \vartheta_1) \quad и \quad l = \Delta t_2 (\vartheta_2 - u) $$ Приравняем правые части: $$ \Delta t_1 (u - \vartheta_1) = \Delta t_2 (\vartheta_2 - u) $$ $$ \Delta t_1 u - \Delta t_1 \vartheta_1 = \Delta t_2 \vartheta_2 - \Delta t_2 u $$ $$ u(\Delta t_1 + \Delta t_2) = \vartheta_1 \Delta t_1 + \vartheta_2 \Delta t_2 $$ $$ u = \frac{\vartheta_1 \Delta t_1 + \vartheta_2 \Delta t_2}{\Delta t_1 + \Delta t_2} $$ Подставим числовые значения в м/с: $$ u = \frac{10 \frac{м}{с} \cdot 10 с + 25 \frac{м}{с} \cdot 20 с}{10 с + 20 с} = \frac{100 + 500}{30} \frac{м}{с} = \frac{600}{30} = 20 \frac{м}{с} $$ Теперь найдем расстояние $l$: $$ l = (u - \vartheta_1)\Delta t_1 = (20 \frac{м}{с} - 10 \frac{м}{с}) \cdot 10 с = 100 м $$ Если мотоциклист остановится ($\vartheta_3=0$), то время $\Delta t$ между проезжающими мимо автомобилями будет: $$ \Delta t = \frac{l}{u} = \frac{100 м}{20 м/с} = 5 с $$ Ответ 5с.