Хитрые механизмы

Задача 5

Условие

Если к оси упругого колеса приложена нагрузка F , колесо деформируется, и его центр смещается вниз на расстояние х. График зависимости F(x) изображен на рисунке. Пружина, жесткости k = 100 Н/м одним концом крепится к оси колеса, а другим — к подвижной платформе. Груз какой массы нужно поставить на платформу, чтобы при этом она опустилась на L = 10 см ?

11 Решение

Пусть

x_1 — расстояние, на которое опустился центр колеса в результате сжатия

x_2 — сжатие пружины

Колесо и пружина соединены так, что L = \Delta x_1 + \Delta x_2 \quad (1)

Т.к. колесо и пружину сжимает одна и та же сила Mg , то \begin{aligned}

Mg &= F(\Delta x_1) \quad (2) \\

Mg &= k\Delta x_2 \quad (3) \rightarrow Mg = k(L - \Delta x_1)

\end{aligned}

Используя то, что F(\Delta x_1) – сила упругости колеса, которую при заданном \Delta x_1 можно определить из графика. Приравнивая правые части уравнений (2) и (3) и используя \Delta x_2 = L - \Delta x_1 получим F(\Delta x_1) = k(L - \Delta x_1) \quad \longleftarrow \quad Решим \quad уравнение \quad графически.

Если \Delta x_1 = 0 , то F(\Delta x_1)_{\max} = kL = 100 \cdot 0,1 = 10 Н

Достаточно на графике провести прямую, задаваемую уравнением и найти точку пересечения этой прямой с графиком \leftarrow Сила упругости пружины F_{упр} = k\Delta x_2 — прямая линия. F_{упр} изменяется от F_{\max} до F_{\min} (в зависимости от массы груза).

12 F(x) \rightarrow по графику F(\Delta x_1) = 4 Н

Тогда из (2) \begin{aligned}

Mg &= 4 Н \\

M &= \frac{4Н}{10 \frac{Н}{кг}} = 0,4 кг = 400 г

\end{aligned}

Ответ: 400 г