Давление

Задача 1

Условие

Ящик в форме параллелепипеда заполнен макаронами-трубками. Толщина их слоя h = 25 см. Давление макарон на дно ящика р = 2,0 кПа . Плотность твердого теста, из которого состоят макароны \rho = 1,25 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} . Определите, сколько процентов от вместимости ящика составляет объем воздуха, находящегося в ящике. Коэффициент g = 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} . Массой воздуха пренебречь.

Решение

Пусть S \text{ — площадь дна ящика} Тогда V = Sh \text{ — вместимость ящика}

2) Объем твердой части макарон V_{\text{м}} = \frac{m_{\text{м}}}{\rho_{\text{теста}}}, \quad m_{\text{м}} \text{ — масса макарон}

3) Давление на дно ящика P = \frac{m_{\text{м}} g}{S} \rightarrow m_{\text{м}} = \frac{PS}{g}

4) Тогда объем твердой части макарон V_{\text{м}} = \frac{m_{\text{м}}}{\rho_{\text{теста}}} = \frac{PS}{g\rho_{\text{теста}}}

5) Объем воздуха в ящике \begin{aligned}

V_{\text{возд}} &= V - V_{\text{м}} = V - \frac{PS}{\rho_{\text{теста}}g} \\

V_{\text{возд}} &= Sh - \frac{PS}{\rho_{\text{теста}}g}

\end{aligned}

6) \begin{aligned}

\frac{V_{\text{возд}}}{V} \cdot 100\% &= \frac{S\left(h - \frac{P}{\rho_{\text{теста}}g}\right)}{Sh} = 1 - \frac{P}{\rho_{\text{теста}}gh} \\

\frac{V_{\text{возд}}}{V} \cdot 100\% &= \left(1 - \frac{2 \cdot 10^3 \text{ Па}}{1,25 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 0,25 \text{ м}}\right) \cdot 100\% \\

\frac{V_{\text{возд}}}{V} \cdot 100\% &= \left(1 - \frac{2}{3,125}\right) \cdot 100\% = 36\%

\end{aligned} Задача 2

Условие

На столе стоит кубик массой m_1 = 90 \text{ г} . Площадь одной грани кубика S_1 = 25 \text{ см}^2 . На него ставят тело неправильной формы. Площадь его контакта с кубиком составляет S_2 = 16 \text{ см}^2 . Сверху ставят еще один кубик со стороной a = 3 \text{ см} . Известно, что все давления в местах соприкосновения тел (и со столом) равны. Найдите массу тела неправильной формы и верхнего кубика.

13 Решение

Запишем условие равенства давлений между всей конструкцией и столом P_1 и давление, которое оказывают два верхних тела на нижний кубик \frac{(m_1 + m_2 + m_3)g}{S_1} = \frac{(m_2 + m_3)g}{S_2} Откуда \begin{aligned}

S_1(m_2 + m_3) &= (m_1 + m_2 + m_3)S_2 \\

S_1 m_2 + S_1 m_3 &= S_2 m_1 + S_2 m_2 + S_2 m_3 \\

S_1 m_2 - S_2 m_2 + S_1 m_3 - S_2 m_3 &= S_2 m_1 \\

m_2(S_1 - S_2) + m_3(S_1 - S_2) &= S_2 m_1 \\

(S_1 - S_2)(m_2 + m_3) &= S_2 m_1 \\

m_2 + m_3 &= \frac{S_2 m_1}{S_1 - S_2} \quad (1)

\end{aligned}

2) Запишем равенство давления, которое оказывает верхний кубик на среднее тело и давления, которое два верхних тела оказывают на нижний кубик \frac{m_3 g}{a^2} = \frac{(m_2 + m_3)g}{S_2} \quad (2)

Подставим (1) в (2) \begin{aligned}

\frac{m_3}{a^2} &= \frac{S_2 m_1}{(S_1 - S_2)S_2} \\

\frac{m_3}{a^2} &= \frac{m_1}{S_1 - S_2} \\

m_3 &= \frac{m_1 a^2}{S_1 - S_2} \\

m_3 &= \frac{90 \text{ г} \cdot 9 \text{ см}^2}{25 \text{ см}^2 - 16 \text{ см}^2} = 90 \text{ г}

\end{aligned}

3) Вернемся к (1) m_2 = \frac{S_2 m_1}{(S_1 - S_2)} - m_3 = \frac{16 \text{ см}^2 \cdot 90 \text{ г}}{9 \text{ см}^2} - 90 \text{ г} = 160 \text{ г} - 90 \text{ г} = 70 \text{ г}