Сила упругости

Задача 1

Условие

Человек-паук прикрепляет к крыше здания резинку жесткостью k = 100 \text{ Н/м} , к резинке – грузик массы m = 1 \text{ кг} , к грузику – опять такую же резинку, а затем опять грузик и т. д. Длина нерастянутой резинки l=50 \text{ см} , расстояние между крышей и землей H = 10 \text{ метров} . Сколько резинок с грузиками понадобиться, чтобы конструкция коснулась земли? Размерами грузиков и весом резинок пренебречь, постоянная g = 10 \text{ Н/кг} .

25 Решение

26 1) Для последней резинки: k\Delta x_1 = mg \Delta x_1 = \frac{mg}{k} = \frac{10}{100} = 0,1 \text{ м} = 10 \text{ см} l_1 = l_0 + \Delta x_1 = 60 \text{ см}

2) Для второй: k\Delta x_2 = 2mg \Delta x_2 = 0,2 \text{ м} = 20 \text{ см} l_2 = l_0 + \Delta x_2 = 70 \text{ см}

3) Для третей: \Delta x_3 = 30 \text{ см}, \quad l_3 = 80 \text{ см}

4) Легко заметить закономерность, тогда l_1 + l_2 + l_3 + \dots 60 + 70 + 80 + 90 + 100 + 110 + 120 + 130 + 140 = 900 \text{ см} = 9 \text{ м}

Для 10-ой снизу: k\Delta x_{10} = 10mg \Rightarrow \Delta x_{10} = 1 \text{ м} = 100 \text{ см} l_{10} = 150 \text{ см} 900 + 150 = 1050 \text{ см} \rightarrow 10 \text{ резинок}

Ответ 10 резинок

Задача 2

Условие

Две дрессированные белки лезут по дереву. Одна лезет вертикально вверх со скоростью v_1 = 10 \text{ см/с} , другая — вертикально вниз со скоростью v_2 = 8 \text{ см/с} . Белки тянут лёгкую чашку за прикреплённые к ней одинаковые лёгкие пружины с жёсткостью 10 Н/м каждая. Идёт дождь, из-за которого в чашку набирается вода со скоростью \mu = 1 \text{ г/с} воды. С какой скоростью движется чашка?

28 Решение

29 Силы, действующие на чашку должны компенсировать друг друга, тогда чашка будет двигаться с постоянной скоростью.

Пусть u – скорость чашки.

F_{ynp1} = k(v_1 - u)t - сила, с которой 1 белка действует на чашку

F_{ynp2} = k(v_2 + u)t - сила, с которой 2 белка действует на чашку

m_b g = \mu t g - сила тяжести на воду в чашке

Тогда: F_{ynp1} = F_{ynp2} + m_b g k(v_1 - u)t = k(v_2 + u)t + \mu t g v_1 - u = v_2 + u + \frac{\mu g}{k} v_1 - v_2 - \frac{\mu g}{k} = 2u u = \frac{v_1 - v_2 - \frac{\mu g}{k}}{2} u = \frac{0,1 - 0,08 - \frac{0,001 \cdot 10}{10}}{2} = 0,0095 \text{ м/с} = 0,95 \text{ см/с}

Ответ 0,95 см/с