Сила упругости

Задача 5

Условие

У барона Мюнхгаузена есть легкий жгут длиной l = 5 \text{ м} и жесткостью k_0 = 50 \text{ Н/м} , а также три одинаковых груза массой m = 10 \text{ кг} каждый. Барон утверждает, что может разрезать жгут на три части и подвесить грузы к потолку за части жгута так, чтобы они висели на расстоянии метра друг от друга (по вертикали). На какие части нужно разрезать жгут?

Решение

Докажем, что растяжение целого жгута l_0 = 5\text{м} под действием груза m = 10 \text{ кг} равно сумме растяжений каждого из трех кусочков под действием того же груза, т.е. \Delta x_0 = \Delta x_1 + \Delta x_2 + \Delta x_3

1) k_0 = \frac{ES}{l_0}

Для 1-ого k_1 = \frac{ES}{l_{01}}

Для 2-ого k_2 = \frac{ES}{l_{02}}

Для 3-ого k_3 = \frac{ES}{l_{03}}

\frac{k_0}{k_1} = \frac{l_{01}}{l_0} \Rightarrow k_1 = \frac{k_0 l_0}{l_{01}} k_2 = \frac{k_0 l_0}{l_{02}} k_3 = \frac{k_0 l_0}{l_{03}}

Тогда: k_1 \Delta x_1 = mg \Rightarrow \frac{k_0 l_0}{l_{01}} \Delta x_1 = mg \Rightarrow \Delta x_1 = \frac{mg l_{01}}{k_0 l_0} k_2 \Delta x_2 = mg \Rightarrow \frac{k_0 l_0}{l_{02}} \Delta x_2 = mg \Rightarrow \Delta x_2 = \frac{mg l_{02}}{k_0 l_0} k_3 \Delta x_3 = mg \Rightarrow \frac{k_0 l_0}{l_{03}} \Delta x_3 = mg \Rightarrow \Delta x_3 = \frac{mg l_{03}}{k_0 l_0}

l_0 = l_{01} + l_{02} + l_{03} - \text{очевидное равенство;} l_0 = \frac{k_0 l_0}{mg}(\Delta x_1 + \Delta x_2 + \Delta x_3) \frac{mg}{k_0} = \Delta x_1 + \Delta x_2 + \Delta x_3

Так как mg = k_0 \Delta x_0 , то \Delta x_0 = \frac{mg}{k_0} (*) . С учетом (*): \Delta x_0 = \Delta x_1 + \Delta x_2 + \Delta x_3

\Delta x_0 = \frac{100 \text{ Н}}{50 \frac{\text{Н}}{\text{м}}} = 2 \text{ м} l = l_0 + \Delta x_0 = 5\text{м} + 2\text{м} = 7\text{м}

3) т.е l = l_0 + \Delta x_0 \quad (1) - \text{длина растянутого жгута} И l = (l_{01} + \Delta x_1) + (l_{02} + \Delta x_2) + (l_{03} + \Delta x_3) = (l_{01} + l_{02} + l_{03}) + (\Delta x_1 + \Delta x_2 + \Delta x_3) l = l_0 + x_0 = 7 \text{ м}

4) С другой стороны

38 l_{\text{раст. жгута}} = l_1 + (l_1 + 1) + (l_1 + 2) l_{\text{раст. жгута}} = 3l_1 + 3 7 = 3l_1 + 3 l_1 = \frac{4}{3} \text{ м} l_2 = \frac{4}{3} + 1 = \frac{7}{3} \text{ м} l_3 = \frac{4}{3} + 2 = \frac{10}{3} \text{ м}

5) Для 1-ого l_1 = l_{01} + \Delta x_1 l_1 = l_{01} + \frac{mg l_{01}}{k_0 l_0} = l_{01} \left( 1 + \frac{mg}{k_0 l_0} \right) l_{01} = \frac{l_1}{1 + \frac{mg}{k_0 l_0}} = \frac{\frac{4}{3}}{1 + \frac{100}{50 \cdot 5}} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{7}{5}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{20}{21} \text{ м}

Для 2-ого l_2 = l_{02} + \Delta x_2 l_2 = l_{02} + \frac{mg l_{02}}{k_0 l_0} = l_{02} \left( 1 + \frac{mg}{k_0 l_0} \right) l_{02} = \frac{l_2}{1 + \frac{mg}{k_0 l_0}} = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{5}} = \frac{7}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{35}{21} \text{ м}

Для 3-ого l_{03} = \frac{l_3}{1 + \frac{mg}{k_0 l_0}} = \frac{\frac{10}{3}}{\frac{7}{5}} = \frac{10}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{50}{21} \text{ м}

Проверка \frac{20}{21} + \frac{35}{21} + \frac{50}{21} = \frac{105}{21} = 5 \text{ м}

Ответ \frac{20}{21} м; \frac{35}{21} м; \frac{50}{21} м.