Сила упругости

Задача 3

Условие

Однородную пружину длины L разрезали на две части, одна из которых имеет длину l_1 . Из получившихся кусков пружины, нерастяжимой нити и подвижного блока собрали систему (рис.). На верхний конец пружины длиной l_1 села муха Цокотуха. В некоторый момент времени блок начали поднимать вертикально вверх со скоростью v_0 . С какой скоростью стала подниматься точка на верхнем конце пружины длиной l_1 ?

30 Решение

31 Т.к. нить нерастяжима и в блоке нет трения, то F_{ynp1} = F_{ynp2} . k_1 x_1 = k_2 x_2 \frac{ES}{l_1} x_1 = \frac{ES}{(L-l_1)} x_2 \Rightarrow \frac{x_1}{l_1} = \frac{x_2}{(L-l_1)} \quad (1)

Пусть смещение блока x_0 , тогда каждая ниточка должна удлиниться на x_0 , тогда 2x_0 = x_1 + x_2 \quad (2) Решая совместно (1) и (2): x_2 = \frac{x_1(L-l_1)}{l_1} \text{ и } x_2 = 2x_0 - x_1 \frac{x_1(L-l_1)}{l_1} + x_1 = 2x_0 x_1 \left( \frac{L-l_1}{l_1} + \frac{l_1}{l_1} \right) = 2x_0 x_1 \frac{L}{l_1} = 2x_0 v_A \cdot t \cdot \frac{L}{l_1} = 2v_0 t v_A = \frac{2v_0 l_1}{L}

Ответ \frac{2v_0 l_1}{L}

Задача 4

Условие

Из некоторого материала можно делать прямые проволочки различной длины и толщины. Если подвесить такую проволочку за один конец, она может оборваться под собственным весом, при этом проволочка практически не меняет своей длины. Известно, что максимальная длина проволочки, которая не рвется под действием собственного веса, не зависит от ее сечения и равна 2,8 м. Имеется 8 проволочек длины 1 м и с различным сечением (смотри таблицу). Их начинают последовательно подвешивать друг к другу, начиная с первой. Каждая следующая проволочка прикрепляется к свободному концу предыдущей. Масса соединения проволочек очень мала. Сколько проволочек можно подвесить, пока одна из них не порвется и каков номер порвавшейся проволочки?

33 32 Решение

- Проволочка рвется у самого верха;

- Если ничего не подвешивать, то она рвется под действием своего веса, который пропорционален длине l ;

- К метровой проволоке снизу можно подвесить 1,8 метров такой же проволоки ( 1м \rightarrow m , 1,8м \rightarrow 1,8m ).

- Чтобы веревка не порвалась, нужно, чтобы сумма всех масс не превышала 1,8m .

Начнем подвешивать веревки по одной, каждый раз проверяя каждую из верхних на разрыв. Массы пропорциональны сечению ( m \sim l ), пусть m = \alpha \cdot S . Где \alpha – коэффициент пропорциональности (он будет присутствовать, как при вычислении массы самой проволочки, так и при расчете массы, подвешенной снизу) \rightarrow сократится.

Для 1-ой 1,8m_1 \ge m_2 + m_3 + \dots 1,8\alpha \cdot S_1 \ge \alpha S_2 + \alpha S_3 + \dots 1,8 \cdot 32 \ge 20 + 12 + 8 + 7 + 7 + 6 + 4 57,6 \gg 54 + 6 + 4 - \text{ седьмую подвешивать нельзя}

Для 3-ей 1,8m_3 \ge m_4 + m_5 \dots 1,8 \cdot 12 \ge 8 + 7 + 7 + 6 + 4 21,6 \gg 15 + 7 - \text{ шестую подвешивать нельзя}

Для 5-ой 1,8m_5 \ge 7 + 6 + 4 12,6 \ge 7 + 6 - \text{ шестую подвешивать нельзя}

Для 2-ой 1,8m_2 \ge m_3 + m_4 + \dots 1,8\alpha \cdot S_2 \ge \alpha S_3 + \alpha S_4 + \dots 1,8 \cdot 20 \ge 12 + 8 + 7 + 7 + 6 + 4 36 \gg 34 + 6 - \text{ седьмую подвешивать нельзя}

Для 4-ой 1,8m_4 \ge m_5 + m_6 \dots 1,8 \cdot 8 \ge 7 + 7 + 6 + 4 14,4 \gg 14 + 6 - \text{ седьмую подвешивать нельзя}

Для 6-ой 1,8m_6 \ge 6 + 4 1,8 \cdot 7 \ge 10 12,6 \ge 10 - \text{ седьмую подвешивать нельзя}

Ответ 6 — ую подвешивать нельзя, т. к. порвется третья.