Рычаги Часть 1: Рычаги

Задача 1

Условие

К левому концу неоднородного стержня, шарнирно закреплённого на неподвижной опоре, подвешен груз массой m_1 , а к правому концу стержня — груз массой m_2 = 4,0 кг. Система находится в равновесии. Затем груз массой m_2 убрали, на его место перенесли груз массой m_1 , а на левый конец подвесили груз массой m_3 = 2,5 кг, и система снова оказалась в равновесии. Определите, при каких значениях массы m_1 это возможно. Известно, что центр масс стержня находится справа от точки опоры.

Решение

А)

16 Б)

17 Применим правило моментов к случаям а) и б) m_1 g x = m_2 g(L-x) + Mgy \quad (1) m_3 g x = m_1 g(L-x) + Mgy \quad (2)

Вычтем из (1) (2) (m_1 - m_3)x = (m_2 - m_1)(L-x) \quad (3) (m_1 - m_3)x = (m_2 - m_1)L - (m_2 - m_1)x (m_1 - m_3)x + (m_2 - m_1)x = (m_2 - m_1)L x(m_1 - m_3 + m_2 - m_1) = (m_2 - m_1)L x = \frac{(m_2 - m_1)L}{(m_2 - m_3)} \quad (4)

Т.к. x < L , то m_3 < m_1 < m_2 Т.е. 2,5 \text{ кг} < m_1 < 4 \text{ кг}

Перепишем (1) с учетом (4) m_1 \frac{(m_2 - m_1)L}{(m_2 - m_3)} = m_2L - m_2\frac{(m_2 - m_1)L}{(m_2 - m_3)} + My My = \frac{(m_1 + m_2)(m_2 - m_1)L - m_2L(m_2 - m_3)}{(m_2 - m_3)} My = \frac{(m_2^2 - m_1^2 - (m_2^2 - m_2m_3))L}{m_2 - m_3} = \frac{(m_2m_3 - m_1^2)L}{(m_2 - m_3)} My = \frac{(m_2m_3 - m_1^2)L}{(m_2 - m_3)}

Т.к. My > 0 и m_2 > m_3 , то m_2m_3 - m_1^2 > 0 m_2m_3 > m_1^2 \sqrt{m_2m_3} > m_1 m_1 < \sqrt{4 \cdot 2,5} m_1 < 3,2 \text{ кг}

В итоге получаем 2,5 \text{ кг} < m_1 < 3,2 \text{ кг}

Ответ 2,5 \text{ кг} < m_1 < 3,2 \text{ кг}