Условие равновесия

Задача 1

Условие

В однородной квадратной пластинки со стороной a = 12 см имеется круглое отверстие. Определите положение центра тяжести пластинки с вырезом.

8 Решение

9 Центром тяжести пластинки с вырезом является точка O_2 , расположенная на расстоянии x от точки O .

Представим, что целая пластинка состоит из 2-х частей:

Круга R с центром тяжести в точке О_1 ;

Оставшейся части с центром тяжести в точке О_2

1. Условие равновесия относительно О имеет вид: \begin{aligned}

O: \quad m_1 g \cdot |OO_1| &= m_2 g \cdot |OO_2| \quad (1)

\end{aligned} Где OO_2 = x, m_2 = m - m_1 — масса \quad пластинки \quad с \quad вырезом, \quad где \quad m = \rho \cdot a^2 \cdot d

2. Геометрически определим расстояние OO_1 : \begin{aligned}

OO_1 &= R \\

\Delta AOO_1 &= \Delta ACO_1 \\

AC = AO &= \frac{d_{квадрата}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}

\end{aligned}

Продолжение возможного решения задачи 5

Квадрат O_1 CBD имеет сторону равную радиусу круга R = CB = AB - AC = a - \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{2a}{2} - \frac{a\sqrt{2}}{2} R = \frac{a}{2}(2 - \sqrt{2})

3. т.к. пластинка однородная: плотность \rho и толщина d , то выразим массы двух ее частей

Круг: m_1 = \rho V_1 = \rho S_1 d = \rho \pi R^2 d = \rho \pi \frac{a^2}{4}(2 - \sqrt{2})^2 d \quad (2)

Квадрат с дыркой: m_2 = m - m_1, где \quad m = \rho a^2 d m_2 = \rho a^2 d - \rho \pi \frac{a^2}{4}(2 - \sqrt{2})^2 d = \rho a^2 d \left(1 - \frac{\pi}{4}(2 - \sqrt{2})^2\right) = \frac{\rho a^2 d}{4}(4 - \pi(2 - \sqrt{2})^2) \quad (3)

Подставим (2) и (3) в (1) \begin{aligned}

\rho \pi \frac{a^2}{4} (2 - \sqrt{2})^2 R d &= \frac{\rho a^2 d}{4} (4 - \pi(2 - \sqrt{2})^2) x \\

\pi (2 - \sqrt{2})^2 R &= (4 - \pi(2 - \sqrt{2})^2) x

\end{aligned} Где R = \frac{a}{2}(2 - \sqrt{2}) \begin{aligned}

x &= \frac{\pi a (2 - \sqrt{2})^3}{2 \left(4 - \pi(2 - \sqrt{2})^2\right)} \\

x &= \frac{3,14 \cdot 12(2 - \sqrt{2})^3}{2(4 - 3,14(2 - \sqrt{2})^2)} = \frac{37,68 \cdot 0,25}{2(4 - 0,348 \cdot 3,14)} = 1,3 см

\end{aligned}

Ответ: 1,3 см