Условие равновесия

Задача 2

Условие

Какую минимальную силу F , направленную горизонтально, нужно приложить к катку цилиндрической формы массой m и радиусом R , чтобы перекатить его через ступеньку высотой h ?

20 Решение

21 Сила F минимальна, если ее плечо максимально. Сила F должна быть приложена к верхней части окружности сечения цилиндрического катка.

M_1 + M_2 + M_3 = 0 O2: \begin{aligned}

M_1 &= mg\sqrt{R^2 - (R - h)^2} \\

M_2 &= N \cdot 0 = 0 \\

M_3 &= -F(2R - h) \\

mg\sqrt{R^2 - (R - h)^2} &= F(2R - h) \\

mg\sqrt{R^2 - (R^2 - 2Rh + h^2)} &= F(2R - h) \\

mg\sqrt{2Rh - h^2} &= F(2R - h) \\

F &= \frac{mg\sqrt{h(2R - h)}}{2R - h}

\end{aligned}

Ответ: F = \frac{mg\sqrt{h(2R - h)}}{2R - h}

Задача 3

Условие

К точке 1 рычага, изображенного на рисунке, подвешен груз массой m . Какую минимальную силу F_{\min} надо приложить к точке 4 этого рычага, чтобы стороны 1-2 и 3-4 оставались горизонтальными? Рычаг прикреплен к точке 2 подвеса на шарнире, все его стороны одинаковы.

22 Решение

23 Рычаг будет в равновесии, когда момент M_1 , создаваемый весом груза \vec{P} = m\vec{g} , вращающий рычаг вокруг точки 2 против часовой стрелки, будет уравновешен моментом M_2 искомой силы F_{\min} , вращающей его по часовой стрелке.

2: \begin{aligned}

M_1 &= +F_H l = mgl \\

M_2 &= -F_{\min} l_{\max}

\end{aligned} Т.к. l_{\max} – плечо силы, которая должна быть \min , значит плечо должно быть \max .

l будет максимально тогда, когда расстояние от точки 2 до линии действия силы F_{\min} будет максимально возможным.

Т.е. плечом окажется гипотенуза прямоугольного треугольника \Delta 234 , значит F_{\min} должна быть перпендикулярна этой гипотенузе. При любом другом направлении силы F_{\min} , ее плечо будет меньше гипотенузы 2-4, значит сама сила уже не будет минимальной

2: \begin{aligned}

M_1 + M_2 &= 0 \\

mgl &= F_{\min} l\sqrt{2} \\

F_{\min} &= \frac{mg}{\sqrt{2}}

\end{aligned}

Ответ: \frac{mg}{\sqrt{2}}