Давление

Задача 3

Условие

Толщина сиденья деревянного табурета равна толщине ножек. Основными стандартными показателями табурета является давление P_0 = 2,8 \text{ кПа} , которое он оказывает на пол, стоя на ножках, и коэффициент \beta_0 = 1,6 , равный отношению площади сидения к площади поверхности одной из боковых сторон. Экспериментатору Глюку привезли бракованный табурет: у него не хватает двух противоположных ножек. Какие показатели P_1 и \beta_1 у табурета Глюка?

17

Решение

18 a) стандартно P_0 = \frac{m_0 g}{4a^2} \text{ — вес стандартного табурета} m_0 — масса стола без брака \begin{aligned}

S_{\text{1бок стороны}} &= b^2 - (b - a)(b - 2a) = b^2 - (b^2 - 2ab - ab + 2a^2) \\

S_{\text{1бок стороны}} &= 3ab - 2a^2 \\

S_{\text{сидения}} &= b^2 \\

\beta_0 &= \frac{S_{\text{сидения}}}{S_{\text{1бок поверхности}}} = \frac{b^2}{3ab - 2a^2} \\

\beta_0 &= \frac{1}{\frac{3ab}{b^2} - 2\left(\frac{a}{b}\right)^2} = \frac{1}{3\left(\frac{a}{b}\right) - 2\left(\frac{a}{b}\right)^2} = \frac{1}{3x - 2x^2} \\

1,6 &= \frac{1}{3x - 2x^2} \\

& \left[ \text{где } x = \frac{a}{b} \right] \\

1,6(3x - 2x^2) &= 1 \\

4,8x - 3,2x^2 &= 1 \\

3,2x^2 - 4,8x + 1 &= 0 \; | \cdot 5

\end{aligned}

\begin{aligned}

16x^2 - 24x + 5 &= 0 \\

D &= 24^2 - 4 \cdot 16 \cdot 5 = 256 = 16^2 \\

x_1 &= \frac{24 \pm 16}{2 \cdot 16} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} = \frac{a}{b} \\

x_2 &= \frac{40}{32} = 5,4 = \frac{a}{b} \text{ — не подходит, т. к. по условию } a < b \\

\frac{1}{4} &= \frac{a}{b} \rightarrow a = \frac{b}{4}

\end{aligned}

Б) \begin{aligned}

V_{\text{станд}} &= V_c + 4VH = b^2 a + 4a^2(b - a) = b^2 \frac{b}{4} + 4 \frac{b^2}{16} \left(b - \frac{b}{4}\right) = \frac{b^3}{4} + \frac{b^2}{4} \cdot \frac{3b}{4} \\

V_{\text{станд}} &= \frac{b^3}{4} + \frac{3b^3}{16} = \frac{7b^3}{16} \\

V_{\text{брак}} &= V_c + 2VH = \frac{b^3}{4} + 2 \frac{b^2}{16} \cdot \frac{3b}{4} = \frac{b^2}{4} + \frac{3b^3}{32} = \frac{11b^3}{32} \\

P_{\text{ст}} &= P_0 = \frac{\rho \frac{7b^3}{16}}{4a^2} = \frac{\rho 7b^3}{16 \cdot 4a^2} \\

P_{\text{брак}} &= P_1 = \frac{\rho 11b^3}{32 \cdot 2a^2} \\

\frac{P_0}{P_1} &= \frac{\rho 7b^3}{16 \cdot 4a^2} \cdot \frac{32 \cdot 2a^2}{\rho \cdot 11b^3} = \frac{7}{11} \\

P_1 &= \frac{11P_0}{7} = \frac{11 \cdot 2,8 \cdot 10^3 \text{ Па}}{7} = 4,4 \text{ кПа}

\end{aligned}

\beta_1 = \frac{b^2}{\underset{\text{с двумя}}{3ab - 2a^2} - \underset{\text{1 ножка}}{a(b - a)}} Где a(b - a) – площадь боковой поверхности 1 ножки \begin{aligned}

\beta_1 &= \frac{b^2}{3ab - 2a^2 - ab + a^2} = \frac{b^2}{2ab - a^2} = \frac{1}{\frac{2a}{b} - \left(\frac{a}{b}\right)^2} = \frac{1}{\frac{2}{4} - \frac{1}{16}} = \frac{1}{\frac{8 - 1}{16}} = \frac{16}{7} \\

\beta_0 &= \frac{1}{3\left(\frac{a}{b}\right) - 2\left(\frac{a}{b}\right)^2} = \frac{1}{\frac{3}{4} - \frac{2}{16}} = \frac{1}{\frac{12 - 2}{16}} = \frac{16}{10} \\

\frac{\beta_1}{\beta_0} &= \frac{16}{7} \cdot \frac{10}{16} = \frac{10}{7} \\

\beta_1 &= \frac{10}{7} \beta_0 = \frac{10}{7} \cdot 1,6 = \frac{16}{7} \approx 2,3

\end{aligned}