Хитрые механизмы

Задача 4

Условие

Испытатель Зуб разместил между двумя неподвижными стенками - гладкой левой и зубчатой правой - свою новейшую систему, устроенную следующим образом. К зубчатому колесу З приклеена катушка К, к которой прикреплена и намотана легкая нить; второй конец нити перекинут через неподвижные блоки и привязан к зубчатой планке П массой m = 2 кг . Зубчатая планка может свободно без трения скользить вдоль левой гладкой стенки. Зуб обнаружил, что если зубцы системы находятся в зацеплении, то система может находиться в равновесии. Зубу известно, что нить, использованная в конструкции, не очень прочна - на нее можно безопасно повесить груз не тяжелее m_0 = 4 кг . Помогите Зубу найти максимальную массу зубчатого колеса с катушкой, при которой его конструкция безопасна, если диаметр зубчатого колеса З в два раза больше диаметра катушки К.

9 Решение

10 Пусть колесо стремится повернуться против часовой стрелки, тогда оно давит на левые зубья F_{давл1} \downarrow \rightarrow N_1 \uparrow , на правые зубья F_{давл2} \uparrow \rightarrow N_2 \downarrow ;

[если мы неправильно угадали, то N_1 и N_2 получатся отрицательными]

1. Вся конструкция (колесо+планка) держится на двух нитях и зацепляется за правую стенку с силой N_2 , направленной вниз (m + M)g + N_2 = 2T \quad (1)

2. Силы, действующие на колесо, должны быть уравновешены 1 \quad условие \quad равновесия \qquad Mg + N_2 = T + N_1 \quad (2)

3. На катушку с колесом действуют силы Mg, N_2, T, N_1 , чтобы она не вращалась относительно точки О: \begin{aligned}

N_1 2r + N_2 2r &= Tr \\

2 \quad условие \quad равновесия \qquad 2N_1 + 2N_2 &= T \qquad \qquad T = m_0 g — по \quad условию \\

2(N_1 + N_2) &= m_0 g \quad (3)

\end{aligned}

Продолжение возможного решения задачи 4

Решим систему уравнений \begin{cases}

из (1) (M + m)g + N_2 = 2m_0 g & (1') \\

из (2) Mg + N_2 = m_0 g + N_1 & (2') \\

из (3) 2(N_1 + N_2) = m_0 g & (3')

\end{cases}

Из (1’) \boxed{N_2 = 2m_0 g - (M + m)g}

Из (2’) N_1 = Mg + N_2 - m_0 g \boxed{N_1 = Mg + 2m_0 g - (M + m)g - m_0 g = m_0 g - mg}

Все подставим в (3): \begin{aligned}

2(m_0 g - mg + 2m_0 g - Mg - mg) &= m_0 g \\

m_0 g &= 2(3m_0 g - Mg - 2mg) \\

m_0 &= 6m_0 - 2M - 4m \\

2M &= 5m_0 - 4m

\end{aligned}

Т.к. m_0 g = 40 Н , то \begin{aligned}

m_0 &= 4 кг \\

M &= 2,5m_0 - 2m = 2,5 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 10 - 4 = 6 кг

\end{aligned}

тогда \begin{aligned}

N_2 &= (2m_0 - M - m)g = (8 - 6 - 2)g = 0 \\

N_1 &= m_0 g - mg = 40 - 20 = 20 Н \\

20 Н &\ge 0

\end{aligned}

Направление угадали

Ответ: M_{\max} = 6 кг