семинар 8, сложность 2: Часть 4
Физика, 9 класс
Задача 2 Условие Через блок, представляющий собой сплошной диск радиусом $ R $, перекинута нить. На нити подвешены грузы массами $ m_1 $ и $ m_2 $ ($ m_2 > m_1 $). Масса блока $ m $ (рис. [fig:task2_1...
Видео
Конспект
Задача 2
Условие
Через блок, представляющий собой сплошной диск радиусом $ R $, перекинута нить. На нити подвешены грузы массами $ m_1 $ и $ m_2 $ ($ m_2 > m_1 $). Масса блока $ m $ (рис. [fig:task2_1]). Определите разность сил натяжения нитей с обеих сторон блока и ускорение грузов. Считать, что нить нерастяжима и не может скользить по блоку.
task2_fig1
Решение
Будем решать задачу в ИСО, связанной с Землёй. Движение грузов будем описывать с помощью второго закона Ньютона динамики материальной точки: $$
\vec{F}_\Sigma = m \vec{a}.
$$ Движение блока будем описывать с помощью уравнения динамики абсолютно твердого тела: $$
\vec{M}= J \vec{\beta}.
$$ Расставим силы, действующие на грузы и блок (рис. [fig:task2_2]).
task2_fig2
Так как нить нерастяжима, а блок неподвижен, $$
\left| \vec{a}_1 \right| = \left| \vec{a}_2 \right| = a.
$$ Запишем второй закон Ньютона для грузов: $$
m_1 \vec{g} + \vec{T}_1 = m_1 \vec{a}_1,
$$ $$
m_2 \vec{g} + \vec{T}_2 = m_2 \vec{a}_2.
$$ Второй закон Ньютона для блока: $$
M_\Sigma = J_c\cdot \beta.
$$ В проекции на ось $y$: $$
m_1g-T_1 = -m_1\cdot a,
$$ $$
m_2g - T_2 = m_2\cdot a.
$$ Решим уравнения совместно (вычтем из первого равентсва второе) $$
\left( m_2-m_1 \right) g - T_2+T_1 = \left( m_2+m_1 \right) a.
$$ и получим выражение для ускорения: $$
a = \frac{\left( m_2-m_1 \right) - \left( T_2-T_1 \right) }{m_1+m_2} = 0.
$$ Уравнение моментов относительно точки $C$: $$
T_1\cdot R - T_2\cdot R = J_c \cdot \left( -\beta \right).
$$ Выражение для углового ускорения: $$
\beta = \frac{\left( T_2-T_1 \right) R}{J_c}.
$$ Связь между линейным и угловым ускорениями: $$
a_\tau = \beta \cdot r.
$$ Для точек на ободе диска тангенциальное ускорение $a_\tau $ совпадает с линейным $a$: $$
a_\tau = a=\beta \cdot R.
$$ Таким образом, $$
\beta = \frac{\left( T_2-T_1 \right) R}{J_c} = \frac{a}{R}.
$$ Разность натяжения нити слева и справа: $$
T_2-T_1 = \frac{a\cdot J_c}{R^2} \neq 0.
$$ Отметим, что в общем случае разность $T_2-T_1$ ненулевая. $T_2=T_1$, только если $J_c=0$ (блок невесомый).
Решим уравнение и найдем ускорение: $$
\left( m_2-m_1 \right) g - \frac{a\cdot J_c}{R^2} = \left( m_2+m_1 \right) a,
$$
$$
a = \frac{\left( m_2-m_1 \right) g}{m_1+m_2+\frac{J_c}{R^2}}.
$$ Если $J_c \ll \left( m_1+m_2 \right) R^2$, то $a= \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}g$.
Если $( m_1+m_2 ) R^2 \ll \ J_c$, то моментом инерции диска нельзя пренебречь. Центральный момент инерции диска: $$
J_c = \frac{mR^2}{2}.
$$ Таким образом, $$
a_1 = a_2 = a = \frac{\left( m_2-m_1 \right) g}{m_1+m_2+\frac{m}{2}}.
$$ Ответ: $a = \frac{\left( m_2-m_1 \right) }{m_1+m_2+\frac{m}{2}}g$.