семинар 8, сложность 2

Задача 2 Условие Через блок, представляющий собой сплошной диск радиусом $ R $, перекинута нить. На нити подвешены грузы массами $ m_1 $ и $ m_2 $ ($ m_2 > m_1 $). Масса блока $ m $ (рис. [fig:task2_1] ). Определите разность сил натяжения нитей с обеих сторон блока и ускорение грузов. Считать, что нить нерастяжима и не может скользить по блоку. Решение Будем решать задачу в ИСО, связанной с Землёй. Движение грузов будем описывать с помощью второго закона Ньютона динамики материальной точки: $$ \vec{F}_\Sigma = m \vec{a}. $$ Движение блока будем описывать с помощью уравнения динамики абсолютно твердого тела: $$ \vec{M}= J \vec{\beta}. $$ Расставим силы, действующие на грузы и блок (рис. [fig:task2_2] ). Так как нить нерастяжима, а блок неподвижен, $$ \left| \vec{a}_1 \right| = \left| \vec{a}_2 \right| = a. $$ Запишем второй закон Ньютона для грузов: $$ m_1 \vec{g} + \vec{T}_1 = m_1 \vec{a}_1, $$ $$ m_2 \vec{g} + \vec{T}_2 = m_2 \vec{a}_2. $$ Второй закон Ньютона для блока: $$ M_\Sigma = J_c\cdot \beta. $$ В проекции на ось $y$: $$ m_1g-T_1 = -m_1\cdot a, $$ $$ m_2g - T_2 = m_2\cdot a. $$ Решим уравнения совместно (вычтем из первого равентсва второе) $$ \left( m_2-m_1 \right) g - T_2+T_1 = \left( m_2+m_1 \right) a. $$ и получим выражение для ускорения: $$ a = \frac{\left( m_2-m_1 \right) - \left( T_2-T_1 \right) }{m_1+m_2} = 0. $$ Уравнение моментов относительно точки $C$: $$ T_1\cdot R - T_2\cdot R = J_c \cdot \left( -\beta \right). $$ Выражение для углового ускорения: $$ \beta = \frac{\left( T_2-T_1 \right) R}{J_c}. $$ Связь между линейным и угловым ускорениями: $$ a_\tau = \beta \cdot r. $$ Для точек на ободе диска тангенциальное ускорение $a_\tau $ совпадает с линейным $a$: $$ a_\tau = a=\beta \cdot R. $$ Таким образом, $$ \beta = \frac{\left( T_2-T_1 \right) R}{J_c} = \frac{a}{R}. $$ Разность натяжения нити слева и справа: $$ T_2-T_1 = \frac{a\cdot J_c}{R^2} \neq 0. $$ Отметим, что в общем случае разность $T_2-T_1$ ненулевая. $T_2=T_1$, только если $J_c=0$ (блок невесомый). Решим уравнение и найдем ускорение: $$ \left( m_2-m_1 \right) g - \frac{a\cdot J_c}{R^2} = \left( m_2+m_1 \right) a, $$ $$ a = \frac{\left( m_2-m_1 \right) g}{m_1+m_2+\frac{J_c}{R^2}}. $$ Если $J_c \ll \left( m_1+m_2 \right) R^2$, то $a= \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}g$. Если $( m_1+m_2 ) R^2 \ll \ J_c$, то моментом инерции диска нельзя пренебречь. Центральный момент инерции диска: $$ J_c = \frac{mR^2}{2}. $$ Таким образом, $$ a_1 = a_2 = a = \frac{\left( m_2-m_1 \right) g}{m_1+m_2+\frac{m}{2}}. $$ Ответ: $a = \frac{\left( m_2-m_1 \right) }{m_1+m_2+\frac{m}{2}}g$.