семинар 3, сложность 2: Часть 1

Видео

Конспект

Задача 1

Условие

Велосипедист движется со скоростью 18 \frac{км}{ч} . Каков коэффициент трения, если предельный угол наклона велосипедиста к дороге 60^o ? Какого наименьшего радиуса окружность он может описать на горизонтальном участке?

Решение

Чтобы понять физику задачи, изобразим ось, вдоль которой расположены колесо, велосипед и само тело велосипедиста (рис. [fig:task1_1]). На велосипедиста действуют сила тяжести, сила нормальной реакции опоры и сила трения покоя, удерживающая колесо от относительного проскальзывания. Именно сила трения покоя сообщает велосипеду ускорение, направленное к центру поворота.

task1_fig1 Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Применим второй закон Ньютона для центра масс системы: m \vec{g}+\vec{N}+\vec{F}_{тр.п.} = m\cdot \vec{a}_n. Отметим, что если сила реакции опоры будет достаточно большой, то геометрическая сумма силы реакции опоры и силы трения покоя не будет направлена вдоль оси велосипедиста. Это приведет к повороту велосипедиста и увеличению угла между колесом и дорогой. Если же сила реакции опоры будет достаточно малой, то угол наклона уменьшится. В любом случае поворот самого велосипедиста прекратится только тогда, когда моменты обобщенной силы реакции опоры \vec{Q} (геометрической суммы сил реакции опоры и трения покоя) и силы тяжести будут равны нулю. Это произойдет тогда, когда указанные силы пересекутся в центре масс.

Напомним, F_{тр} =

\left[

\begin{array}{lll}

F_{тр.п.} \leqslant F_{тр.ск.},\\

F_{тр.ск.} = \mu \cdot N

\end{array}\right. Проекция второго закона Ньютона на ось x : 0+0+F_{тр.п.} = m\cdot \frac{v^2}{R}. Проекция на ось y : -mg+N+0=m\cdot 0. Итак, получаем два уравнения \left\{

\begin{array}{lll}

F_{тр.п.} = \frac{mv^2}{R},\\

N = mg.

\end{array}\right. Отметим, что мы рассматриваем случай предельного угла поворота. Это значит, что сила трения покоя принимает свое максимальное значение: \left\{

\begin{array}{lll}

\mu N = \frac{mv^2}{R},\\

N = mg.

\end{array}\right. Отсюда получаем \mu = \frac{v^2}{gR}. Полученное выражение содержит две неизвестные величины – радиус поворота R и коэффициент трения \mu . Чтобы разрешить эту задачу, посмотрим, как коэффициент трения связан с углом наклона колеса к дороге. Для этого воспользуемся указанным выше рассуждением об обобщенной силе реакции опоры: при предельном прохождении обобщенная сила реакции опоры проходит через центр тяжести. Тогда \vec{Q} = \vec{N}+\vec{F}_{тр.п.}, \tg \alpha = \frac{N}{F_{тр.п.}} = \frac{N}{\mu \cdot N} = \frac{1}{\mu }. Отсюда получаем \mu = \frac{1}{\tg \alpha } = \ctg \alpha , \mu = \frac{\cos 60^o}{\sin 60^o} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577. Теперь мы можем получить радиус поворота: R = \frac{v^2}{\mu g}, R = \frac{\left( 5 \frac{м}{c} \right)^2}{0.577\cdot 10 \frac{м}{c^2}} \approx 4.33\ м. Ответ: \mu \approx 0.577,\ R = 4.33 \ м .

Задача 2

Условие

Поезд движется по закруглению радиусом 800 м со скоростью 72 \frac{км}{ч} . Определить, на сколько внешний рельс должен быть выше внутреннего. Расстояние между рельсами по горизонтали 1.5 м.

Решение

Известно, что для предотвращения изнашивания внутреннего рельса внешний рельс устанавливают на несколько большей высоте (рис. [fig:task2_1]). Для того, чтобы центр тяжести поезда двигался по окружности, необходимо, чтобы при совместном действии сил центру тяжести сообщалось центростремительное ускорение, направленное к центру поворота. При повороте на поезд действуют сила тяжести и сила реакции опоры. Если оба рельса находятся на одном уровне, то сила трения покоя обеспечит появление центростремительного ускорения, что приведет к изнашиванию внутреннего рельса. Однако, если указанную конструкцию немного наклонить под углом \alpha , то появится ненулевая проекция силы реакции опоры.

task2_fig1 Воспользуемся вторым законом Ньютона, сформулированного для материальных точек: \vec{F}_\Sigma = m \cdot \vec{a}. Вычислим центростремительное ускорение: a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{\left( 20 \frac{м}{c} \right)^2}{800 м} = 0.5 \frac{м}{c^2}. Очевидно, искомую высоту можно представить в виде h = S\cdot \tg \alpha. Таким образом, нам достаточно найти угол наклона \alpha рельс к горизонту.

Распишем второй закон Ньютона: m \vec{g} + \vec{N} = m\cdot \vec{a}_n. Проекция на ось x : mg \cdot \sin\alpha +0 =m\cdot a_n \cdot \cos \alpha Отсюда получаем g \sin \alpha = \frac{v^2}{R} \cdot \cos \alpha , \tg \alpha = \frac{v^2}{gR}, \tg \alpha = \frac{0.5 \frac{м}{c^2}}{10 \frac{м}{c^2}} = 0.05. Таким образом, \alpha \approx 0.05рад . Для перепада высот получаем h = 1.5 м \cdot 0.05 = 0.075 \ м = 7.5\ см. Ответ: 7.5 см.