семинар 1, сложность 2: Часть 1

Видео

Конспект

Задача 1

Условие

Два тела массами m_1 и m_2 , связанные нитью, лежат на гладкой горизонтальной поверхности. Масса нити m_0 . На второе тело действует в горизонтальном направлении сила \vec{F} . Определите силы, с которыми нить действует на каждое тело. В каком случае эти силы будут равны по модулю? Трением можно пренебречь.

1_uslovie Решение

Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной со столом. Применим второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек, так как тела движутся поступательно: \vec{F}_{\Sigma } = m\cdot \vec{a}. Расставим силы, действующие на каждое из тел. (рис. [fig:1]).

1 Отметим, что так как нить весома, натяжение нити вдоль её длины не одинаково: \left| \vec{T}_1 \right| \neq \left| \vec{T}_2 \right|. Рассмотрим все три тела (бруски и нить) как одну систему и применим к ней второй закон Ньютона: \left( m_0+m_1+m_2 \right) \vec{g} + \vec{N}+\vec{F} = \left( m_0+m_1+m_2 \right) \vec{a}. Так как нить нерастяжима, ускорения первого и второго бруска одинаковы: \left| \vec{a}_1 \right| = \left| \vec{a}_2 \right| = \left| \vec{a}_0 \right| = a. Проекция векторов на ось x дает F = \left( m_0+m_1+m_2 \right) a. Отсюда получаем ускорение системы: a = \frac{F}{m_0+m_1+m_2}. Чтобы найти силы натяжения нити, применим второй закон Ньютона к каждому из тел системы. Для первого тела: \vec{T}_1 + m_1 \vec{g} + \vec{N}_1 = m_1\cdot \vec{a}_1, для второго тела: \vec{T}_2 + m_2 \vec{g} + \vec{N}_2 + \vec{F} = m_2\cdot \vec{a}_2. Спроецируем векторы на ось x , получим: T_1 = m_1\cdot a, -T_2 + F = m_2\cdot a. Значит, T_2 = F-m_2a. Преобразуем выражение, подставив ранее полученное выражение для ускорения: T_2 = F - \frac{m_2F}{m_0+m_1+m_2} = \frac{F\left( m_0+m_1 \right) }{m_0+m_1+m_2}. С другой стороны, T_1 = m_1\cdot a : T_1 = \frac{m_1F}{m_0+m_1+m_2}. Таким образом, T_2>T_1 при m_0>0 . Очевидно, что T_2=T_1 , если m_1=m_0+m_1 , то есть если m_0=0 .

Ответ: T_2=T_1 , если m_0=0 .

Задача 2

Условие

К нижнему концу легкой пружины подвешены связанные невесомой нитью грузы: верхний массой m_1=0.2 кг и нижний массой m_2=0.1 кг. Верхний коней пружины закреплён. Система находится в равновесном положении. Нить, соединяющую грузы, пережигают. Какова величина ускорения, с которым начнет двигаться верхний груз?

Решение

Сперва установим, какие силы обеспечивали равновесие грузов до пережигания нити. Отметим, что нить невесома, поэтому ее натяжение вдоль нити одинаково.

Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Размерами груза можно пренебречь, поэтому далее будем применять второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек: \vec{F}_\Sigma =m \cdot \vec{a}. В случае равновесия грузов равнодействующая сил равна нулю: \vec{F}_\Sigma = \vec{0}. Условие равновесия для первого груза приобретает вид F_{упр} = m_1g + T, а для второго груза – T = m_2g. Отсюда получаем F_{упр} = \left( m_1+m_2 \right) g, F_{упр} = \left( 0.2+0.1 \right) кг \cdot 10 \frac{м}{c^2} = 3\ H.

Когда нить пережигают, сила натяжения нити исчезает мгновенно. При этом на второе тело продолжает действовать сила тяжести. Для первого же тела деформация пружины не может измениться мгновенно. Таким образом, на первое тело действует сила тяжести и сила упругости (рис. [fig:5]).

5 Итак, для второго тела получаем \vec{F}_{\Sigma 2}= m_2\cdot \vec{a}_2, m_2g = m_2a_2, то есть второе тело будет свободно падать с ускорением a_2=g=10 \frac{м}{c^2}. Для первого же тела равнодействующая сил имеет вид \vec{F}_{\Sigma 1} = m_1 \vec{g} + \vec{F}_{упр}. Отметим, что равнодействующая сила направлена в сторону бóльшей силы, поэтому ускорение \vec{a}_1 первого тела сразу после пережигания нити направлено вверх.

Итак, m_1 \vec{a}_1 = m_1 \vec{g} + \vec{F}_{упр}. Проекция на ось x : m_1 a_1= -m_1g + F_{упр} Отсюда получаем a_1 = \frac{F_{упр}-m_1g}{m_1} = \frac{\left( m_1+m_2 \right) g-m_1g}{m_1} = \frac{m_2}{m_1}g, a_1 = \frac{100\ г}{200\ г} \cdot 10 \frac{м}{c^2} = 5\frac{м}{c^2}. Ответ: 5 \frac{м}{c^2}, 10 \frac{м}{c^2} .

Задача 3

Условие

Тело, масса которого m=1 кг, движется прямолинейно. График зависимости скорости v тела от его координаты x представляет собой прямую с углом наклона 30^o , проходящую через начало координат. Масштаб графика: по оси x в 1 см – 1 м; по оси v в 1 см – 1 м/с. Найдите силу, действовавшую на тело, когда оно находилось в точке с координатой x_0=2 м.

Решение

По условию задачи график зависимости скорости тела от его координаты представляет собой прямую, наклоненную под углом 30^o к оси абсцисс (рис. [fig:6]). Заметим, что при изменении масштаба этот угол будет меняться, так что угловой коэффициент здесь весьма условен (он учитывает также и единицы измерения по каждой из осей).

3 Итак, нам нужно определить силу, действующую на материальную точку в точке x_0 . \vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a} Отметим, что в данном случае невозможно сразу установить вид движения. Единственная известная нам информация – график зависимости скорости от координаты. Это значит, что скорость может быть задана уравнением вида v(x) = \alpha \cdot x. Определим величину коэффициента \alpha : \frac{1}{c} \tg 30^o = \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \frac{1}{c} \right). Теперь мы можем получить значение скорость в x_0 : v(x_0) = \alpha \cdot x_0 = \frac{2}{\sqrt{3}} \frac{м}{c}. Теперь определим ускорение. Заметим, что скорость и координата прямопропорциональны. Поэтому пропорциональны и их приращения: \Delta x \cdot \alpha = \Delta v. Разделив полученное уравнение на приращение времени, получим уравнение, содержащее среднюю скорость и среднее ускорение: \frac{\Delta x}{\Delta t} \cdot \alpha = \frac{\Delta v}{\Delta t}, v_{ср} \cdot \alpha = a_{ср}. Нас интересует мгновенное ускорение, поэтому осуществим предельный переход \Delta t \to 0 . Тогда средние величины переходят в мгновенные: v\cdot \alpha = a. Воспользуемся связью между мгновенной скоростью и координатой: \alpha ^2\cdot x = a, a= \alpha ^2 \cdot x_0, F_\Sigma = m\cdot a=m\cdot \alpha ^2\cdot x_0, F_\Sigma = 1\ кг \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{1}{c} \right)^2 \cdot 2 м = \frac{2}{3}\ H. Ответ: \frac{2}{3}\ H .