семинар 7, сложность 2

Задача 1 Условие Конструкция механической системы показана на рисунке [fig:task1_1] . В результате начального толчка груз массы $m_1$ начал двигаться вверх и на расстоянии $h = 0,5\ м$ от точки наивысшего подъема побывал дважды через интервал времени $\tau =2\ c$. Определите отношение масс грузов $\frac{m_1}{m_2}$. Массами всех элементов конструкции, кроме грузов, пренебречь. Трение отсутствует. Нити нерастяжимы. Решение Определим ускорение первого груза $\vec{a}_1$. В верхней точке скорость груза $v_{кон} = 0$, а движение относительно нижней отметки симметрично. В силу симметричности движения, время прохождения груза в одну сторону равно $\frac{\tau}{2}$. Рассмотрим движение груза от точки остановки до отметки $h$. В этом случае $$ \Delta y = v_{0y} \cdot t + \frac{a_yt^2}{2} $$ или, в введенных обозначениях $$ h = 0\cdot \frac{\tau }{2} + \frac{a_1 \cdot \left( \frac{\tau }{2} \right)^2}{2}, $$ $$ h = \frac{a_1\tau ^2}{8}. $$ Отсюда получаем $$ a_1 = \frac{8h}{\tau ^2} = \frac{8\cdot 0,5м}{\left( 2c \right)^2} = 1 \frac{м}{c^2}. $$ Найдем ускорение второго груза. Для этого воспользуемся координатным методом (рис. [fig:task1_2] ). Введем обозначения $L_1$ и $L_2$ для длин нитей и выразим их через введенные координаты: $$ L_1 = \left( y_1-0 \right) + \left( y_\delta - 0 \right) + \pi R_1 = y_1+y_\delta + \pi R_1, $$ $$ L_2 = \left( y_2-y_\delta \right) + \left( H - y_\delta \right) + \pi R_2. $$ Длины нитей не меняются в процессе движения: $$ \Delta L_1 = 0 = \Delta y_1+ \Delta y_\delta,\ \ \ \ \Delta y_\delta = -\Delta y_1, $$ $$ \Delta L_2 = 0 = \Delta y_2 - 2 \Delta y_\delta,\ \ \ \ \ 2\Delta y_\delta = \Delta y_2. $$ Отсюда получаем $$ 2 \cdot \left( -\Delta y_1 \right) = \Delta y_2. $$ Разделим обе части уравнения на $\Delta t$: $$ 2\cdot \left( - \frac{\Delta y_1}{\Delta t} \right) = \frac{\Delta y_2}{\Delta t}. $$ Устремив $\Delta t\to 0$, получим связь между мгновенными проекциями скоростей: $$ -2 v_{1y} = v_{2y}. $$ Аналогичным образом получим связь между мгновенными ускорениями: $$ -2\cdot \frac{\Delta v_{1y}}{\Delta t} = \frac{\Delta v_{2y}}{\Delta t}, $$ $$ -2a_{1y} = a_{2y}. $$ Таким образом, ускорение второго тела $$ a_2 = 2a_1 = 2 \frac{м}{c^2}. $$ Воспользуемся вторым законом Ньютона $$ \vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a}. $$ Расставим силы, действующие на грузы (рис. [fig:task1_3] ). Нить невесома, поэтому $$ \left| \vec{T}_1 \right| = \left| \vec{T}_2 \right| = T. $$ Применим второй закон Ньютона для первого тела: $$ m_1 \vec{g} + \vec{T} = m_1\cdot \vec{a}_1 $$ и для второго тела: $$ m_2 \vec{g} + \frac{\vec{T}}{2} = m_2\cdot \vec{a}_2. $$ Отсюда получаем $$ \left\{ \begin{array}{lll} m_1g - T = m_1\cdot a_1,\\ \frac{T}{2} - m_2g = m_2a_2, \end{array}\right. $$ $$ \left\{ \begin{array}{lll} m_1g - T = m_1a_1,\\ T - 2m_2g = 2m_2a_2. \end{array}\right. $$ Сложим уравнения: $$ m_1g - 2m_2g = m_1a_1+2m_2a_2, $$ $$ \frac{m_1}{m_2}g - 2g = \frac{m_1}{m_2}a_1 + 2a_2, $$ $$ \frac{m_1}{m_2}\left( g-a_1 \right) = 2 \left( a_2+g \right), $$ $$ \frac{m_1}{m_2} = \frac{2 \left( g+a_2 \right)}{g-a_1} = \frac{2\left( g+2a_1 \right)}{g-a_1} = \frac{2\left( g\tau ^2+16h \right)}{g\tau ^2-8h}, $$ $$ \frac{m_1}{m_2} = \frac{2\left( 10 \frac{м}{c^2} + 2 \frac{м}{c^2} \right)}{10 \frac{м}{c^2} - 1 \frac{м}{c^2}} = \frac{24}{9} \simeq 2,7. $$ Ответ: $2,7$