семинар 7, сложность 2

Задача 2 Условие Найдите ускорения $a_1$ призмы массы $m_1$ и $a_2$ куба массы $m_2$ в системе, показанной на рисунке [fig:task2_1] . Трение отсутствует. Решение Поскольку клин и куб движутся поступательно и не отрываются друг от друга, их ускорения взаимозависимы. Рассмотрим точку $A$ клина в месте контакта с кубом (рис. [fig:task2_2] ). Ускорение этой точки, как и всех точек клина, направлено вертикально вниз. Рассмотрим точку $B$ куба в месте контакта с клином (рис. [fig:task2_2] ). Ускорение этой точке, как и всех точек куба, направлено горизонтально. Куб и клин движутся без отрыва. Значит, скорости и ускорения точек $A$ и $B$ согласованы между собой. Проекции скоростей и ускорений точек $A$ и $B$ на нормаль к поверхности контакта (направленную перпендикулярно грани клина) равны: $a_{1z} = a_{2z}$. Получим выражения для проекций векторов $\vec{a}_1$ и $\vec{a}_2$ на ось $z$ и учтем, что эти проекции должны быть одинаковыми: $$ a_1 \cdot \cos \left( 90^o-\alpha \right) = a_2 \cos \alpha, $$ $$ a_1\cdot \sin\alpha = a_2\cdot \cos \alpha. $$ Расставим силы, действующие на клин и куб (рис. [fig:task2_3] ). Будем решать задачу в ИСО, связанной с Землей. Применим второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек, так как клин и куб движутся поступательно $$ \vec{F}_\Sigma = m \vec{a} $$ клин: $$ m_1 \vec{g} + \vec{N} + \vec{N}_1 = m_1\cdot \vec{a}_1 $$ куб: $$ m_2 \vec{g} + \vec{P} + \vec{N}_2 = m_2 \cdot \vec{a}_2. $$ Спроецируем векторы из первого уравнения на ось $y$ $$ m_1 g - N\cdot \cos \left( 90^o-\alpha \right) +0 =m_1\cdot a_1, $$ а из второго уравнения – на ось $x$: $$ 0+P\cdot \cos \alpha +0 = m_2\cdot a_2. $$ Получили систему уравнений $$ \left\{ \begin{array}{lll} m_1g - N \sin\alpha = m_1a_1,\\ P\cdot \cos \alpha = m_2\cdot a_2. \end{array}\right. $$ По третьему закону Ньютона $\vec{N}=-\vec{P}$, $\left| \vec{N} \right| = \left| \vec{P} \right|$. Выразим $N$ из первого уравнения системы: $$ N = \frac{m_1g - m_1a_1}{\sin\alpha }, $$ а $P$ – из второго уравнения системы: $$ P = \frac{m_2a_2}{\cos \alpha }. $$ Полученные выражения равны: $$ \frac{m_1g - m_1a_1}{\sin \alpha } = \frac{m_2\cdot a_2}{\cos \alpha }, $$ $$ m_1 \left( g-a_1 \right) \cdot \cos \alpha = m_2\cdot a_2\cdot \sin \alpha. $$ Ранее мы получили связь между ускорениями: $$ a_2 = \frac{a_1 \sin\alpha }{\cos\alpha }. $$ Подставим и решим получившееся уравнение: $$ \frac{m_1}{m_2}\left( g-a_1 \right) \cos \alpha = \frac{a_1 \sin^2\alpha }{\cos \alpha }, $$ $$ \frac{m_1}{m_2}g - \frac{m_1}{m_2}a_1 = a_1 \tg^2 \alpha, $$ $$ a_1 = \frac{\frac{m_1}{m_2}g}{\frac{m_1}{m_2}+\tg^2 \alpha } = \frac{m_1g}{m_1+m_2\tg^2\alpha }, $$ $$ a_2 = a_1\cdot \tg \alpha = \frac{m_1g \tg \alpha }{m_1+m_2\tg^2 \alpha }. $$ Ответ: $a_1 = \frac{m_1g}{m_1+m_2\tg^2 \alpha }$, $a_2 = \frac{m_1g \tg \alpha }{m_1+m_2\tg^2 \alpha }$. Задача 3 Условие По сторонам прямого угла скользит жесткая невесомая палочка $AB$ длины $2L$, посередине которой закреплена бусинка массы $m$. Скорость точки В постоянна и равна $v$ (точка В удаляется от вершины прямого угла). Определите, с какой силой $N$ действует бусинка на палочку в тот момент, когда палочка составляет угол $\alpha = 45^o$ с вертикалью. Решение Сначала найдем скорость точки $A$. Проекции мгновенных скоростей всех точек стержня на прямую $AB$ одинаковы (так как стержень нерастяжим) (рис. [fig:task3_1] ). В частности, проекция скорости точки $B$ равна $v \cos 45^o$. Точка $A$ движется без отрыва по вертикальной стене. Ее скорость $v_1$ направлена вертикально вниз. При этом проекции скоростей должны быть одинаковыми, значит: $$ v \cos 45^o = v_1\cdot \cos 45^o. $$ Оказалось, что скорости точек $A$ и $B$ в данный момент времени одинаковы по модулю: $v_1=v$. Отметим, что при другом значении угла $\alpha $ данное равенство не выполняется. При скольжении по стенкам, стержень $AB$ вращается вокруг мгновенного центра вращения. Найдем его. По определению, мгновенный центр вращения лежит на пересечении прямых, перпендикулярных мгновенным скоростям (рис. [fig:task3_2] ). Расстояние от точки $A$ до точки $O$ (мгновенный центр вращения) равно стороне квадрата: $OA=l \cdot \sqrt{2}$. Найдем угловую скорость вращения точек стержня относительно мгновенного центра вращения: $$ \omega = \frac{v}{\sqrt{2} l}. $$ Расстояние от точки $C$ (бусинка) до точки $O$ (мгновенный центр вращения) равно половине диагонали квадрата: $OC=l$. Тогда скорость точки $C$ $$ v_c = \omega \cdot l = \frac{v}{\sqrt{2}}. $$ Отметим, что значение $v_c$ можно получить из условия нерастяжимости стержня (проекции скоростей всех точек стержня одинаковы): $$ v_c = v \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}. $$ Теперь мы можем найти проекцию полного ускорения точки $C$ на нормальную ось: $$ a_{n 1} = \frac{\left( v_c \right) ^2}{l} = \frac{v^2}{2l}. $$ Найдем другую проекцию полного ускорения. Для этого воспользуемся тем, что точка $B$ все время движется с постоянной скоростью. Значит, мы можем перейти в ИСО, связанную с точкой $B$. Напомним, что абсолютную скорость точ...